Exercice 1 (5.5 pts)
1. Calculer : \(A=2\left|1-\sqrt{3}\right|-\left|5-\sqrt{12}\right|-4\left|\sqrt{27}-4\sqrt{3}\right|\).
2. Factoriser : \(x^3+1-\left(x^2-1\right)-x-1\).
3. Comparer les nombres \(a=\sqrt{5}-\sqrt{2}\) et \(b=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\).
4. Déterminer l’ensemble auquel appartient \(x\) dans chaque cas : a) \(|x-2|\leq\dfrac{1}{2}\) ; b) \(|2x-3|>1\).
5. On considère les intervalles \(I=[-3;7]\) et \(J=]-\infty;5[\). Déterminer \(I\cap J\) et \(I\cup J\).
2. Factoriser : \(x^3+1-\left(x^2-1\right)-x-1\).
3. Comparer les nombres \(a=\sqrt{5}-\sqrt{2}\) et \(b=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\).
4. Déterminer l’ensemble auquel appartient \(x\) dans chaque cas : a) \(|x-2|\leq\dfrac{1}{2}\) ; b) \(|2x-3|>1\).
5. On considère les intervalles \(I=[-3;7]\) et \(J=]-\infty;5[\). Déterminer \(I\cap J\) et \(I\cup J\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}<5\) et \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}<4\sqrt{3}\) :
\(A=2\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(5-2\sqrt{3}\right)-4\sqrt{3}\)
[] \(A=-7\)
2. Facteur commun \(x+1\) :
\((x+1)\left(x^2-x+1\right)-(x-1)(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-2x+1\right)\)
[] \(x^3+1-\left(x^2-1\right)-x-1=(x+1)(x-1)^2\)
3. \(\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2=7-2\sqrt{10}\), donc \(b=\left|\sqrt{5}-\sqrt{2}\right|=\sqrt{5}-\sqrt{2}\) :
[] \(a=b\)
4. a) \(-\dfrac{1}{2}\leq x-2\leq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(x\in\left[\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right]\)
b) \(2x-3>1\) ou \(2x-3<-1\) :
[] \(x\in]-\infty;1[\cup]2;+\infty[\)
5.
[] \(I\cap J=[-3;5[\) et \(I\cup J=]-\infty;7]\)
\(A=2\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(5-2\sqrt{3}\right)-4\sqrt{3}\)
[] \(A=-7\)
2. Facteur commun \(x+1\) :
\((x+1)\left(x^2-x+1\right)-(x-1)(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-2x+1\right)\)
[] \(x^3+1-\left(x^2-1\right)-x-1=(x+1)(x-1)^2\)
3. \(\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^2=7-2\sqrt{10}\), donc \(b=\left|\sqrt{5}-\sqrt{2}\right|=\sqrt{5}-\sqrt{2}\) :
[] \(a=b\)
4. a) \(-\dfrac{1}{2}\leq x-2\leq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(x\in\left[\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right]\)
b) \(2x-3>1\) ou \(2x-3<-1\) :
[] \(x\in]-\infty;1[\cup]2;+\infty[\)
5.
[] \(I\cap J=[-3;5[\) et \(I\cup J=]-\infty;7]\)
Exercice 2 (4 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(\dfrac{4}{3}\leq x\leq4\) et \(|y-2|\leq1\).
1. Montrer que : \(1\leq y\leq3\).
2. Encadrer : \(y+3x\).
3. Montrer que \(\dfrac{1}{2}\) est une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1}{x}\) à \(\dfrac{1}{4}\) près.
4. Calculer : \(A=|3x+y-15|+|3x+y-5|\).
1. Montrer que : \(1\leq y\leq3\).
2. Encadrer : \(y+3x\).
3. Montrer que \(\dfrac{1}{2}\) est une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1}{x}\) à \(\dfrac{1}{4}\) près.
4. Calculer : \(A=|3x+y-15|+|3x+y-5|\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(-1\leq y-2\leq1\) :
[] \(1\leq y\leq3\)
2. \(4\leq3x\leq12\) :
[] \(5\leq y+3x\leq15\)
3. \(x>0\) :
\(\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{3}{4}\iff-\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{4}\iff\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right|\leq\dfrac{1}{4}\)
4. D’après 2. : \(3x+y-15\leq0\) et \(3x+y-5\geq0\), donc \(A=15-3x-y+3x+y-5\) :
[] \(A=10\)
[] \(1\leq y\leq3\)
2. \(4\leq3x\leq12\) :
[] \(5\leq y+3x\leq15\)
3. \(x>0\) :
\(\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x}\leq\dfrac{3}{4}\iff-\dfrac{1}{4}\leq\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{4}\iff\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}\right|\leq\dfrac{1}{4}\)
4. D’après 2. : \(3x+y-15\leq0\) et \(3x+y-5\geq0\), donc \(A=15-3x-y+3x+y-5\) :
[] \(A=10\)
Exercice 3 (4.5 pts)
\(ABC\) est un triangle. Soit \(M\) le milieu du segment \([BC]\) et \(D\) le point tel que \(\overrightarrow{MD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MA}\).
\(E\) et \(F\) sont les projetés de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement respectivement à \((AB)\) et à \((AC)\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MB}\), puis en déduire que \(\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{1}{4}\).
3. a) Montrer que \(\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MC}\).
b) En déduire que \(M\) est le milieu du segment \([EF]\).
\(E\) et \(F\) sont les projetés de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement respectivement à \((AB)\) et à \((AC)\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MB}\), puis en déduire que \(\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{1}{4}\).
3. a) Montrer que \(\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MC}\).
b) En déduire que \(M\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
2. Projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(M\mapsto M\), \(A\mapsto B\), \(D\mapsto E\). Elle conserve le coefficient :
[] \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MB}\) et \(\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{1}{4}\)
3. a) Projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\) : \(M\mapsto M\), \(A\mapsto C\), \(D\mapsto F\) :
[] \(\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MC}\)
b) \(\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MB}\), donc \(\overrightarrow{MF}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{ME}\) :
[] \(M\) est le milieu de \([EF]\)
Exercice 4 (4 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(x\in[2;5]\) et \(y\in[-3;4]\).
1. Montrer que : \(8\leq3x+2\leq17\) et \(-15\leq2y-9\leq-1\).
2. Développer : \((3x+2)^2\) et \((2y-9)^2\).
3. On pose \(A=\sqrt{9x^2+12x+4}\) et \(B=\sqrt{4y^2-36y+81}\).
a) Simplifier \(A\) et \(B\).
b) Montrer que le nombre \(\dfrac{B}{A}\) appartient à l’intervalle \(\left[\dfrac{1}{17};\dfrac{15}{8}\right]\).
1. Montrer que : \(8\leq3x+2\leq17\) et \(-15\leq2y-9\leq-1\).
2. Développer : \((3x+2)^2\) et \((2y-9)^2\).
3. On pose \(A=\sqrt{9x^2+12x+4}\) et \(B=\sqrt{4y^2-36y+81}\).
a) Simplifier \(A\) et \(B\).
b) Montrer que le nombre \(\dfrac{B}{A}\) appartient à l’intervalle \(\left[\dfrac{1}{17};\dfrac{15}{8}\right]\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(6\leq3x\leq15\) et \(-6\leq2y\leq8\) :
[] \(8\leq3x+2\leq17\) et \(-15\leq2y-9\leq-1\)
2.
[] \((3x+2)^2=9x^2+12x+4\) et \((2y-9)^2=4y^2-36y+81\)
3. a) \(A=|3x+2|=3x+2\) (car \(3x+2>0\)) et \(B=|2y-9|=9-2y\) (car \(2y-9<0\)).
b) \(1\leq B\leq15\) et \(\dfrac{1}{17}\leq\dfrac{1}{A}\leq\dfrac{1}{8}\) (nombres positifs) :
[] \(\dfrac{1}{17}\leq\dfrac{B}{A}\leq\dfrac{15}{8}\)
[] \(8\leq3x+2\leq17\) et \(-15\leq2y-9\leq-1\)
2.
[] \((3x+2)^2=9x^2+12x+4\) et \((2y-9)^2=4y^2-36y+81\)
3. a) \(A=|3x+2|=3x+2\) (car \(3x+2>0\)) et \(B=|2y-9|=9-2y\) (car \(2y-9<0\)).
b) \(1\leq B\leq15\) et \(\dfrac{1}{17}\leq\dfrac{1}{A}\leq\dfrac{1}{8}\) (nombres positifs) :
[] \(\dfrac{1}{17}\leq\dfrac{B}{A}\leq\dfrac{15}{8}\)
Exercice 5 (2 pts)
Soit \(a\) un réel tel que \(2\leq a\leq3\). Montrer que : \(2\leq\dfrac{a^3+2}{a^2+1}\leq3\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
💡 On étudie le signe de chaque différence.
\(a^2+1>0\) :
\(\dfrac{a^3+2}{a^2+1}-2=\dfrac{a^3-2a^2}{a^2+1}=\dfrac{a^2(a-2)}{a^2+1}\geq0\)
\(3-\dfrac{a^3+2}{a^2+1}=\dfrac{-a^3+3a^2+1}{a^2+1}=\dfrac{a^2(3-a)+1}{a^2+1}>0\)
[] \(2\leq\dfrac{a^3+2}{a^2+1}\leq3\)
\(a^2+1>0\) :
\(\dfrac{a^3+2}{a^2+1}-2=\dfrac{a^3-2a^2}{a^2+1}=\dfrac{a^2(a-2)}{a^2+1}\geq0\)
\(3-\dfrac{a^3+2}{a^2+1}=\dfrac{-a^3+3a^2+1}{a^2+1}=\dfrac{a^2(3-a)+1}{a^2+1}>0\)
[] \(2\leq\dfrac{a^3+2}{a^2+1}\leq3\)