Exercice 1 (8 pts)
1. Calculer : \(A=\left(3+\sqrt{6}\right)\left(3-\sqrt{6}\right)-\dfrac{6\sqrt{3}}{12}\) et \(B=\left|3\sqrt{2}-2\right|+\left|2\sqrt{2}-3\right|+\left|\sqrt{2}-1\right|\).
2. Comparer les nombres : \(2+\sqrt{6}\) et \(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\).
3. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(-3<x<-2\) et \(1<y<2\). Encadrer chacun des nombres \(y-x\) et \(\dfrac{x}{y}\).
4. Factoriser : \(C=x^3+1+2\left(x^2-1\right)-x-1\).
5. Déterminer l’ensemble auquel appartient \(x\) dans chacun des cas : a) \(|x-2|\geq1\) ; b) \(|3x-1|\leq2\).
2. Comparer les nombres : \(2+\sqrt{6}\) et \(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\).
3. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(-3<x<-2\) et \(1<y<2\). Encadrer chacun des nombres \(y-x\) et \(\dfrac{x}{y}\).
4. Factoriser : \(C=x^3+1+2\left(x^2-1\right)-x-1\).
5. Déterminer l’ensemble auquel appartient \(x\) dans chacun des cas : a) \(|x-2|\geq1\) ; b) \(|3x-1|\leq2\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(A=9-6-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :
[] \(A=3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(3\sqrt{2}-2>0\) ; \(2\sqrt{2}-3<0\) ; \(\sqrt{2}-1>0\) : \(B=3\sqrt{2}-2+3-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1\) :
[] \(B=2\sqrt{2}\)
💡 Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
2.
\(\left(2+\sqrt{6}\right)^2=10+4\sqrt{6}\)
\(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2=14+4\sqrt{6}\)
[] \(2+\sqrt{6}<2\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
3. \(2<-x<3\) donc
[] \(3<y-x<5\)
\(\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<1\) et \(2<-x<3\) donc \(1<-\dfrac{x}{y}<3\) :
[] \(-3<\dfrac{x}{y}<-1\)
4. Facteur commun \(x+1\) :
\(C=(x+1)\left(x^2-x+1\right)+2(x-1)(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2+x-2\right)\)
[] \(C=(x+1)(x-1)(x+2)\)
5. a) \(x-2\geq1\) ou \(x-2\leq-1\) :
[] \(x\in]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\)
b) \(-2\leq3x-1\leq2\iff-1\leq3x\leq3\) :
[] \(x\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
[] \(A=3-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(3\sqrt{2}-2>0\) ; \(2\sqrt{2}-3<0\) ; \(\sqrt{2}-1>0\) : \(B=3\sqrt{2}-2+3-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1\) :
[] \(B=2\sqrt{2}\)
💡 Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
2.
\(\left(2+\sqrt{6}\right)^2=10+4\sqrt{6}\)
\(\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2=14+4\sqrt{6}\)
[] \(2+\sqrt{6}<2\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
3. \(2<-x<3\) donc
[] \(3<y-x<5\)
\(\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<1\) et \(2<-x<3\) donc \(1<-\dfrac{x}{y}<3\) :
[] \(-3<\dfrac{x}{y}<-1\)
4. Facteur commun \(x+1\) :
\(C=(x+1)\left(x^2-x+1\right)+2(x-1)(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2+x-2\right)\)
[] \(C=(x+1)(x-1)(x+2)\)
5. a) \(x-2\geq1\) ou \(x-2\leq-1\) :
[] \(x\in]-\infty;1]\cup[3;+\infty[\)
b) \(-2\leq3x-1\leq2\iff-1\leq3x\leq3\) :
[] \(x\in\left[-\dfrac{1}{3};1\right]\)
Exercice 2 (4 pts)
Soit \(x\) un réel tel que \(0<x<1\). On pose \(A=\dfrac{1+\sqrt{x}}{2}\).
1. Montrer que : \(\dfrac{1}{2}<A<1\).
2. a) Montrer que : \(A-1=\dfrac{x-1}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}\).
b) En déduire que : \(|A-1|\leq\dfrac{1}{2}|x-1|\).
3. En déduire une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1+\sqrt{0{,}12}}{2}\) à \(44\times10^{-2}\) près.
1. Montrer que : \(\dfrac{1}{2}<A<1\).
2. a) Montrer que : \(A-1=\dfrac{x-1}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}\).
b) En déduire que : \(|A-1|\leq\dfrac{1}{2}|x-1|\).
3. En déduire une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1+\sqrt{0{,}12}}{2}\) à \(44\times10^{-2}\) près.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(0<\sqrt{x}<1\Rightarrow1<1+\sqrt{x}<2\) :
[] \(\dfrac{1}{2}<A<1\)
2. a) On multiplie par le conjugué :
\(A-1=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}=\dfrac{x-1}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}\)
b) \(1+\sqrt{x}\geq1\), donc \(\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}\leq1\) :
[] \(|A-1|=\dfrac{|x-1|}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}\leq\dfrac{1}{2}|x-1|\)
3. Pour \(x=0{,}12\) : \(\left|\dfrac{1+\sqrt{0{,}12}}{2}-1\right|\leq\dfrac{1}{2}\times0{,}88=0{,}44\).
[] \(1\) est une valeur approchée de ce nombre à \(44\times10^{-2}\) près
[] \(\dfrac{1}{2}<A<1\)
2. a) On multiplie par le conjugué :
\(A-1=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}=\dfrac{x-1}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}\)
b) \(1+\sqrt{x}\geq1\), donc \(\dfrac{1}{1+\sqrt{x}}\leq1\) :
[] \(|A-1|=\dfrac{|x-1|}{2\left(1+\sqrt{x}\right)}\leq\dfrac{1}{2}|x-1|\)
3. Pour \(x=0{,}12\) : \(\left|\dfrac{1+\sqrt{0{,}12}}{2}-1\right|\leq\dfrac{1}{2}\times0{,}88=0{,}44\).
[] \(1\) est une valeur approchée de ce nombre à \(44\times10^{-2}\) près
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\) le milieu de \([AC]\) et \(N\) le point de \((BC)\) tel que \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
\(E\) est le point d’intersection de \((AC)\) avec la droite passant par \(N\) parallèle à \((BM)\), et \(F\) le point d’intersection des droites \((AN)\) et \((BM)\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que : \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{ME}\).
3. a) Montrer que : \(\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EM}\).
b) En déduire que : \(\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{NF}\).
\(E\) est le point d’intersection de \((AC)\) avec la droite passant par \(N\) parallèle à \((BM)\), et \(F\) le point d’intersection des droites \((AN)\) et \((BM)\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que : \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{ME}\).
3. a) Montrer que : \(\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EM}\).
b) En déduire que : \(\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{NF}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
2. Projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BM)\) : \(B\mapsto M\), \(N\mapsto E\), \(C\mapsto C\). Comme \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\) : \(\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MC}\).
[] \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{ME}\)
3. a) \(M\) milieu de \([AC]\) : \(\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MC}=-3\overrightarrow{ME}=3\overrightarrow{EM}\) :
\(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{EM}+3\overrightarrow{EM}=4\overrightarrow{EM}\)
b) Projection sur \((AN)\) parallèlement à \((BM)\) : \(A\mapsto A\), \(M\mapsto F\), \(E\mapsto N\). Elle conserve le coefficient : \(\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{NF}\) (car \(\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EM}\)).
[] \(\overrightarrow{NA}=4\overrightarrow{NF}\)
Exercice 4 (3 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que \(x+y=4\).
1. Montrer que : \(xy\leq4\).
2. Montrer que : \(x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}(x+y)^2\).
3. En déduire que : \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\geq\dfrac{25}{2}\).
1. Montrer que : \(xy\leq4\).
2. Montrer que : \(x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}(x+y)^2\).
3. En déduire que : \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\geq\dfrac{25}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
💡 On part d’un carré positif : \((x-y)^2\geq0\).
1. \((x-y)^2\geq0\iff(x+y)^2\geq4xy\iff16\geq4xy\) :
[] \(xy\leq4\)
2. \(2\left(x^2+y^2\right)-(x+y)^2=(x-y)^2\geq0\) :
[] \(x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}(x+y)^2\)
3. On applique 2. à \(X=x+\dfrac{1}{x}\) et \(Y=y+\dfrac{1}{y}\) : \(X^2+Y^2\geq\dfrac{1}{2}(X+Y)^2\).
Or \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{4}{xy}\geq1\) (d’après 1.) :
\(X+Y=4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq5\)
[] \(X^2+Y^2\geq\dfrac{1}{2}\times25=\dfrac{25}{2}\)
1. \((x-y)^2\geq0\iff(x+y)^2\geq4xy\iff16\geq4xy\) :
[] \(xy\leq4\)
2. \(2\left(x^2+y^2\right)-(x+y)^2=(x-y)^2\geq0\) :
[] \(x^2+y^2\geq\dfrac{1}{2}(x+y)^2\)
3. On applique 2. à \(X=x+\dfrac{1}{x}\) et \(Y=y+\dfrac{1}{y}\) : \(X^2+Y^2\geq\dfrac{1}{2}(X+Y)^2\).
Or \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{4}{xy}\geq1\) (d’après 1.) :
\(X+Y=4+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq5\)
[] \(X^2+Y^2\geq\dfrac{1}{2}\times25=\dfrac{25}{2}\)