Exercice 1 (7 pts)
1. On pose \(B=\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\). Calculer \(B^2\) puis en déduire une écriture plus simple de \(B\).
2. Soient \(a\) et \(b\) deux réels non nuls.
a) Simplifier : \(A=\dfrac{ab^{-2}\left(a^{-1}b\right)^4\left(ab^{-1}\right)^2}{a^2b\left(a^2b^{-1}\right)^3a^{-1}b}\).
b) Calculer \(A\) pour \(a=10^{-2}\) et \(b=10^{-3}\).
3. Factoriser : \(E=x^3-8+(x-2)(2x-3)\) et \(F=(5x-3)(x+1)-6x+10x^2+(3-5x)^2\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(4-x^2=(x+2)(2x+5)\).
5. Donner l’écriture scientifique du nombre \(G=15\times10^2+2\times10^{-2}-1{,}2\times10^3\).
2. Soient \(a\) et \(b\) deux réels non nuls.
a) Simplifier : \(A=\dfrac{ab^{-2}\left(a^{-1}b\right)^4\left(ab^{-1}\right)^2}{a^2b\left(a^2b^{-1}\right)^3a^{-1}b}\).
b) Calculer \(A\) pour \(a=10^{-2}\) et \(b=10^{-3}\).
3. Factoriser : \(E=x^3-8+(x-2)(2x-3)\) et \(F=(5x-3)(x+1)-6x+10x^2+(3-5x)^2\).
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(4-x^2=(x+2)(2x+5)\).
5. Donner l’écriture scientifique du nombre \(G=15\times10^2+2\times10^{-2}-1{,}2\times10^3\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\times\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{16-12}=2\) :
\(B^2=\left(4+2\sqrt{3}\right)+\left(4-2\sqrt{3}\right)+2\times2=12\)
[] \(B>0\), donc \(B=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
💡 On regroupe les puissances de \(a\) et de \(b\) : \(a^ma^n=a^{m+n}\) ; \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\) ; \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
2. a) Numérateur : \(a^{1-4+2}b^{-2+4-2}=a^{-1}\) ; dénominateur : \(a^{2+6-1}b^{1-3+1}=a^7b^{-1}\).
[] \(A=a^{-8}b\)
b) \(A=\left(10^{-2}\right)^{-8}\times10^{-3}=10^{16}\times10^{-3}\) :
[] \(A=10^{13}\)
3. \(x^3-8=(x-2)\left(x^2+2x+4\right)\) :
\(E=(x-2)\left(x^2+2x+4+2x-3\right)=(x-2)\left(x^2+4x+1\right)\)
\(-6x+10x^2=2x(5x-3)\) et \((3-5x)^2=(5x-3)^2\) :
\(F=(5x-3)\left[(x+1)+2x+(5x-3)\right]=(5x-3)(8x-2)=2(5x-3)(4x-1)\)
4.
\((2-x)(2+x)-(x+2)(2x+5)=0\iff(x+2)(-3x-3)=0\)
[] \(S=\{-2;-1\}\)
5. \(G=1500+0{,}02-1200=300{,}02\) :
[] \(G=3{,}0002\times10^2\)
\(B^2=\left(4+2\sqrt{3}\right)+\left(4-2\sqrt{3}\right)+2\times2=12\)
[] \(B>0\), donc \(B=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
💡 On regroupe les puissances de \(a\) et de \(b\) : \(a^ma^n=a^{m+n}\) ; \(\left(a^m\right)^n=a^{mn}\) ; \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\).
2. a) Numérateur : \(a^{1-4+2}b^{-2+4-2}=a^{-1}\) ; dénominateur : \(a^{2+6-1}b^{1-3+1}=a^7b^{-1}\).
[] \(A=a^{-8}b\)
b) \(A=\left(10^{-2}\right)^{-8}\times10^{-3}=10^{16}\times10^{-3}\) :
[] \(A=10^{13}\)
3. \(x^3-8=(x-2)\left(x^2+2x+4\right)\) :
\(E=(x-2)\left(x^2+2x+4+2x-3\right)=(x-2)\left(x^2+4x+1\right)\)
\(-6x+10x^2=2x(5x-3)\) et \((3-5x)^2=(5x-3)^2\) :
\(F=(5x-3)\left[(x+1)+2x+(5x-3)\right]=(5x-3)(8x-2)=2(5x-3)(4x-1)\)
4.
\((2-x)(2+x)-(x+2)(2x+5)=0\iff(x+2)(-3x-3)=0\)
[] \(S=\{-2;-1\}\)
5. \(G=1500+0{,}02-1200=300{,}02\) :
[] \(G=3{,}0002\times10^2\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) le point tel que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).
\(N\) est le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) et \(F\) est le projeté de \(N\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{CF}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
4. En déduire que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BF}\).
\(N\) est le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) et \(F\) est le projeté de \(N\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{CF}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).
4. En déduire que \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BF}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
2. Projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(A\mapsto A\), \(M\mapsto N\), \(B\mapsto C\) ; elle conserve le coefficient :
[] \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)
Chasles :
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
3. \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}\). Projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(C\mapsto C\), \(N\mapsto F\), \(A\mapsto B\).
[] \(\overrightarrow{CF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
4.
\(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MN}\)
[] \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BF}\) (\(MNFB\) est un parallélogramme)
Exercice 3 (5 pts)
Soient \(a=1+\sqrt{4-\dfrac{3}{2}\sqrt{7}}\) et \(b=1+\sqrt{4+\dfrac{3}{2}\sqrt{7}}\).
1. Vérifier que \(\left(3-\sqrt{7}\right)^2=4\left(4-\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)\) et \(\left(3+\sqrt{7}\right)^2=4\left(4+\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)\).
2. Montrer que \(a+b=5\).
3. Montrer que \((a-1)(b-1)=\dfrac{1}{2}\).
4. En déduire la valeur du produit \(ab\).
1. Vérifier que \(\left(3-\sqrt{7}\right)^2=4\left(4-\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)\) et \(\left(3+\sqrt{7}\right)^2=4\left(4+\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)\).
2. Montrer que \(a+b=5\).
3. Montrer que \((a-1)(b-1)=\dfrac{1}{2}\).
4. En déduire la valeur du produit \(ab\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1.
\(\left(3\mp\sqrt{7}\right)^2=9\mp6\sqrt{7}+7=16\mp6\sqrt{7}=4\left(4\mp\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)\)
2. \(3-\sqrt{7}>0\), donc \(\sqrt{4-\dfrac{3}{2}\sqrt{7}}=\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}\) et \(\sqrt{4+\dfrac{3}{2}\sqrt{7}}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}\).
[] \(a+b=2+\dfrac{3-\sqrt{7}+3+\sqrt{7}}{2}=2+3=5\)
3.
\((a-1)(b-1)=\dfrac{\left(3-\sqrt{7}\right)\left(3+\sqrt{7}\right)}{4}=\dfrac{9-7}{4}=\dfrac{1}{2}\)
4. \((a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1\) :
\(ab=\dfrac{1}{2}+5-1\)
[] \(ab=\dfrac{9}{2}\)
\(\left(3\mp\sqrt{7}\right)^2=9\mp6\sqrt{7}+7=16\mp6\sqrt{7}=4\left(4\mp\dfrac{3}{2}\sqrt{7}\right)\)
2. \(3-\sqrt{7}>0\), donc \(\sqrt{4-\dfrac{3}{2}\sqrt{7}}=\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}\) et \(\sqrt{4+\dfrac{3}{2}\sqrt{7}}=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}\).
[] \(a+b=2+\dfrac{3-\sqrt{7}+3+\sqrt{7}}{2}=2+3=5\)
3.
\((a-1)(b-1)=\dfrac{\left(3-\sqrt{7}\right)\left(3+\sqrt{7}\right)}{4}=\dfrac{9-7}{4}=\dfrac{1}{2}\)
4. \((a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1\) :
\(ab=\dfrac{1}{2}+5-1\)
[] \(ab=\dfrac{9}{2}\)
Exercice 4 (2 pts)
Montrer que : \(\left(\dfrac{\sqrt{85}+1}{2}\right)^3-\left(\dfrac{\sqrt{85}-1}{2}\right)^3=64\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
💡 On pose \(u=\sqrt{85}\) et on développe \((u+1)^3-(u-1)^3\).
\((u+1)^3-(u-1)^3=\left(u^3+3u^2+3u+1\right)-\left(u^3-3u^2+3u-1\right)=6u^2+2\)
Donc l’expression vaut :
\(\dfrac{6u^2+2}{8}=\dfrac{6\times85+2}{8}=\dfrac{512}{8}=64\)
[] L’égalité est vraie
\((u+1)^3-(u-1)^3=\left(u^3+3u^2+3u+1\right)-\left(u^3-3u^2+3u-1\right)=6u^2+2\)
Donc l’expression vaut :
\(\dfrac{6u^2+2}{8}=\dfrac{6\times85+2}{8}=\dfrac{512}{8}=64\)
[] L’égalité est vraie