Exercice 1 (7 pts)
1. Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(a\in[-2;5]\) et \(-3\leq b\leq-1\). Donner un encadrement de chacun des nombres \(2a+7\) ; \(3b-14\) ; \(3b-a\), puis en déduire une simplification du nombre \(X=2|2a+7|-|3b-14|+|3b-a|\).
2. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(1\) est une valeur approchée par défaut de \(2x+5\) à \(2\) près, et \(\dfrac{5}{2}\) est une valeur approchée par excès de \(y\) à \(0{,}5\) près.
Montrer que \(-2\leq x\leq-1\) et \(2\leq y\leq\dfrac{5}{2}\), puis donner un encadrement de \(xy\) et de \(\dfrac{x^2}{y}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(|5-3x|=|x+1|\) ; b) \(\left|x^2-4\right|+3=0\) ; c) \(\left|4x-\dfrac{7}{2}\right|\leq\dfrac{1}{2}\) ; d) \(|1-2x|>5\).
4. Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que \(x<y\). Montrer que \(\dfrac{x+1}{y+1}>\dfrac{x}{y}\).
2. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(1\) est une valeur approchée par défaut de \(2x+5\) à \(2\) près, et \(\dfrac{5}{2}\) est une valeur approchée par excès de \(y\) à \(0{,}5\) près.
Montrer que \(-2\leq x\leq-1\) et \(2\leq y\leq\dfrac{5}{2}\), puis donner un encadrement de \(xy\) et de \(\dfrac{x^2}{y}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(|5-3x|=|x+1|\) ; b) \(\left|x^2-4\right|+3=0\) ; c) \(\left|4x-\dfrac{7}{2}\right|\leq\dfrac{1}{2}\) ; d) \(|1-2x|>5\).
4. Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que \(x<y\). Montrer que \(\dfrac{x+1}{y+1}>\dfrac{x}{y}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1.
[] \(3\leq2a+7\leq17\) ; \(-23\leq3b-14\leq-17\) ; \(-9\leq3b\leq-3\) et \(-5\leq-a\leq2\) donc \(-14\leq3b-a\leq-1\)
\(X=2(2a+7)+(3b-14)-(3b-a)=5a\)
[] \(X=5a\)
💡 Par défaut : \(a\leq x\leq a+r\) ; par excès : \(a-r\leq x\leq a\).
2. \(1\leq2x+5\leq3\iff-2\leq x\leq-1\) ✔ ; \(\dfrac{5}{2}-0{,}5\leq y\leq\dfrac{5}{2}\) ✔.
\(1\leq-x\leq2\) et \(2\leq y\leq\dfrac{5}{2}\) : \(2\leq-xy\leq5\) ; \(1\leq x^2\leq4\) et \(\dfrac{2}{5}\leq\dfrac{1}{y}\leq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(-5\leq xy\leq-2\) et \(\dfrac{2}{5}\leq\dfrac{x^2}{y}\leq2\)
3. a) \(5-3x=x+1\iff x=1\) ou \(5-3x=-x-1\iff x=3\) : \(S=\{1;3\}\) ; b) \(\left|x^2-4\right|+3\geq3>0\) : \(S=\emptyset\).
c) \(-\dfrac{1}{2}\leq4x-\dfrac{7}{2}\leq\dfrac{1}{2}\iff3\leq4x\leq4\) : \(S=\left[\dfrac{3}{4};1\right]\) ; d) \(1-2x>5\) ou \(1-2x<-5\) :
[] \(S=]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[\)
4.
\(\dfrac{x+1}{y+1}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{y(x+1)-x(y+1)}{y(y+1)}=\dfrac{y-x}{y(y+1)}>0\)
[] \(\dfrac{x+1}{y+1}>\dfrac{x}{y}\)
[] \(3\leq2a+7\leq17\) ; \(-23\leq3b-14\leq-17\) ; \(-9\leq3b\leq-3\) et \(-5\leq-a\leq2\) donc \(-14\leq3b-a\leq-1\)
\(X=2(2a+7)+(3b-14)-(3b-a)=5a\)
[] \(X=5a\)
💡 Par défaut : \(a\leq x\leq a+r\) ; par excès : \(a-r\leq x\leq a\).
2. \(1\leq2x+5\leq3\iff-2\leq x\leq-1\) ✔ ; \(\dfrac{5}{2}-0{,}5\leq y\leq\dfrac{5}{2}\) ✔.
\(1\leq-x\leq2\) et \(2\leq y\leq\dfrac{5}{2}\) : \(2\leq-xy\leq5\) ; \(1\leq x^2\leq4\) et \(\dfrac{2}{5}\leq\dfrac{1}{y}\leq\dfrac{1}{2}\) :
[] \(-5\leq xy\leq-2\) et \(\dfrac{2}{5}\leq\dfrac{x^2}{y}\leq2\)
3. a) \(5-3x=x+1\iff x=1\) ou \(5-3x=-x-1\iff x=3\) : \(S=\{1;3\}\) ; b) \(\left|x^2-4\right|+3\geq3>0\) : \(S=\emptyset\).
c) \(-\dfrac{1}{2}\leq4x-\dfrac{7}{2}\leq\dfrac{1}{2}\iff3\leq4x\leq4\) : \(S=\left[\dfrac{3}{4};1\right]\) ; d) \(1-2x>5\) ou \(1-2x<-5\) :
[] \(S=]-\infty;-2[\cup]3;+\infty[\)
4.
\(\dfrac{x+1}{y+1}-\dfrac{x}{y}=\dfrac{y(x+1)-x(y+1)}{y(y+1)}=\dfrac{y-x}{y(y+1)}>0\)
[] \(\dfrac{x+1}{y+1}>\dfrac{x}{y}\)
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(x\) un réel tel que \(-\dfrac{1}{3}\leq x\leq\dfrac{1}{3}\). On pose \(A=\dfrac{1+x}{1+2x}\).
1. Montrer que : \(A-(1-x)=\dfrac{2x^2}{1+2x}\).
2. Montrer que \(\dfrac{2}{1+2x}\leq6\), puis en déduire que \(|A-(1-x)|\leq6x^2\).
3. En déduire que \(\dfrac{4}{5}\) est une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1{,}2}{1{,}4}\) à \(2{,}4\times10^{-1}\) près.
1. Montrer que : \(A-(1-x)=\dfrac{2x^2}{1+2x}\).
2. Montrer que \(\dfrac{2}{1+2x}\leq6\), puis en déduire que \(|A-(1-x)|\leq6x^2\).
3. En déduire que \(\dfrac{4}{5}\) est une valeur approchée du nombre \(\dfrac{1{,}2}{1{,}4}\) à \(2{,}4\times10^{-1}\) près.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1.
\(A-(1-x)=\dfrac{1+x-(1-x)(1+2x)}{1+2x}=\dfrac{1+x-1-2x+x+2x^2}{1+2x}=\dfrac{2x^2}{1+2x}\)
2. \(\dfrac{1}{3}\leq1+2x\leq\dfrac{5}{3}\), donc \(\dfrac{3}{5}\leq\dfrac{1}{1+2x}\leq3\) et \(\dfrac{2}{1+2x}\leq6\).
[] \(|A-(1-x)|=x^2\times\dfrac{2}{1+2x}\leq6x^2\)
3. Pour \(x=0{,}2\) : \(A=\dfrac{1{,}2}{1{,}4}\) et \(1-x=0{,}8=\dfrac{4}{5}\), donc \(\left|\dfrac{1{,}2}{1{,}4}-\dfrac{4}{5}\right|\leq6\times0{,}04=0{,}24\).
[] \(\dfrac{4}{5}\) est une valeur approchée à \(2{,}4\times10^{-1}\) près
\(A-(1-x)=\dfrac{1+x-(1-x)(1+2x)}{1+2x}=\dfrac{1+x-1-2x+x+2x^2}{1+2x}=\dfrac{2x^2}{1+2x}\)
2. \(\dfrac{1}{3}\leq1+2x\leq\dfrac{5}{3}\), donc \(\dfrac{3}{5}\leq\dfrac{1}{1+2x}\leq3\) et \(\dfrac{2}{1+2x}\leq6\).
[] \(|A-(1-x)|=x^2\times\dfrac{2}{1+2x}\leq6x^2\)
3. Pour \(x=0{,}2\) : \(A=\dfrac{1{,}2}{1{,}4}\) et \(1-x=0{,}8=\dfrac{4}{5}\), donc \(\left|\dfrac{1{,}2}{1{,}4}-\dfrac{4}{5}\right|\leq6\times0{,}04=0{,}24\).
[] \(\dfrac{4}{5}\) est une valeur approchée à \(2{,}4\times10^{-1}\) près
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\), et \(I\), \(J\) deux points tels que : \(\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\).
1. a) Construire une figure et montrer que : \(\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{OJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\).
b) En déduire que les points \(O\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
2. Soit \(E\) un point tel que \(\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que le point \(I\) est le milieu du segment \([AE]\).
b) Montrer que les droites \((IJ)\) et \((CE)\) sont parallèles.
1. a) Construire une figure et montrer que : \(\overrightarrow{OI}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{OJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\).
b) En déduire que les points \(O\), \(I\) et \(J\) sont alignés.
2. Soit \(E\) un point tel que \(\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
a) Montrer que le point \(I\) est le milieu du segment \([AE]\).
b) Montrer que les droites \((IJ)\) et \((CE)\) sont parallèles.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 \(O\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\) ; \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
1. a) \(\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) :
\(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BI}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{OA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) :
\(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)
b) \(\overrightarrow{OJ}=-2\overrightarrow{OI}\) :
[] \(O\), \(I\) et \(J\) sont alignés
2. a) \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) :
[] \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\), \(I\) est le milieu de \([AE]\)
b)
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
[] \(\overrightarrow{IJ}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CE}\) : \((IJ)\parallel(CE)\)
1. a) \(\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) :
\(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BI}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{OA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\) :
\(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\)
b) \(\overrightarrow{OJ}=-2\overrightarrow{OI}\) :
[] \(O\), \(I\) et \(J\) sont alignés
2. a) \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) :
[] \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\), \(I\) est le milieu de \([AE]\)
b)
\(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
[] \(\overrightarrow{IJ}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CE}\) : \((IJ)\parallel(CE)\)
Exercice 4 (2 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs. Montrer que : \(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}\leq x+y+2\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
💡 On compare d’abord \(\sqrt{2x+1}\) et \(x+1\) (nombres positifs : on compare les carrés).
\((x+1)^2=x^2+2x+1\geq2x+1\), donc \(\sqrt{2x+1}\leq x+1\) ; de même \(\sqrt{2y+1}\leq y+1\).
[] En additionnant : \(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}\leq x+y+2\)
\((x+1)^2=x^2+2x+1\geq2x+1\), donc \(\sqrt{2x+1}\leq x+1\) ; de même \(\sqrt{2y+1}\leq y+1\).
[] En additionnant : \(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}\leq x+y+2\)