Exercice 1 (9.5 pts)
1. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que : \(\dfrac{\left(4^{n+1}+4^n\right)^2}{\left(2^{2n+1}-2^{2n}\right)^2}\in\mathbb{N}\).
2. Comparer : \(2-\sqrt{5}\) et \(\dfrac{-1}{2+\sqrt{5}}\).
3. Factoriser : \(x^3-8+4\left(x^2-4\right)-3x+6\).
4. Calculer : \(A=\left|3\sqrt{2}-2\right|-\left|2\sqrt{2}-3\right|+\left|\sqrt{2}-2\right|\).
5. On considère les intervalles \(A=]-\infty;5]\) ; \(B=]-3;7]\) et \(C=]6;+\infty[\). Déterminer \(A\cap B\) ; \(B\cup C\) et \(A\cap C\).
6. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : \(|5x+2|=8\) ; \(2|x|+1=0\) et \(|2x-1|=|3x-4|\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations : \(|2x-3|\leq2\) et \(|x-1|>4\).
2. Comparer : \(2-\sqrt{5}\) et \(\dfrac{-1}{2+\sqrt{5}}\).
3. Factoriser : \(x^3-8+4\left(x^2-4\right)-3x+6\).
4. Calculer : \(A=\left|3\sqrt{2}-2\right|-\left|2\sqrt{2}-3\right|+\left|\sqrt{2}-2\right|\).
5. On considère les intervalles \(A=]-\infty;5]\) ; \(B=]-3;7]\) et \(C=]6;+\infty[\). Déterminer \(A\cap B\) ; \(B\cup C\) et \(A\cap C\).
6. a) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : \(|5x+2|=8\) ; \(2|x|+1=0\) et \(|2x-1|=|3x-4|\).
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations : \(|2x-3|\leq2\) et \(|x-1|>4\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(4^{n+1}+4^n=4^n(4+1)=5\times4^n\) et \(2^{2n+1}-2^{2n}=2^{2n}(2-1)=4^n\) :
\(\dfrac{\left(5\times4^n\right)^2}{\left(4^n\right)^2}=25\)
[] le nombre vaut \(25\in\mathbb{N}\)
2. On multiplie par le conjugué :
\(\dfrac{-1}{2+\sqrt{5}}=\dfrac{-\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=\dfrac{2-\sqrt{5}}{5-4}=2-\sqrt{5}\)
[] les deux nombres sont égaux
3. Facteur commun \(x-2\) :
\((x-2)\left(x^2+2x+4\right)+4(x-2)(x+2)-3(x-2)=(x-2)\left(x^2+6x+9\right)\)
[] \(x^3-8+4\left(x^2-4\right)-3x+6=(x-2)(x+3)^2\)
4. \(3\sqrt{2}-2>0\) ; \(2\sqrt{2}-3<0\) (\(8<9\)) ; \(\sqrt{2}-2<0\) :
\(A=3\sqrt{2}-2-\left(3-2\sqrt{2}\right)+2-\sqrt{2}\)
[] \(A=4\sqrt{2}-3\)
5.
[] \(A\cap B=]-3;5]\) ; \(B\cup C=]-3;+\infty[\) ; \(A\cap C=\emptyset\)
💡 \(|X|=r\iff X=r\) ou \(X=-r\) (\(r\geq0\)) ; \(|X|=|Y|\iff X=Y\) ou \(X=-Y\).
6. a) \(5x+2=8\) ou \(5x+2=-8\) : \(S=\left\{-2;\dfrac{6}{5}\right\}\) ; \(2|x|+1\geq1>0\) : \(S=\emptyset\).
\(2x-1=3x-4\iff x=3\) ou \(2x-1=-3x+4\iff x=1\) :
[] \(S=\{1;3\}\)
b) \(|2x-3|\leq2\iff1\leq2x\leq5\) : \(S=\left[\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]\) ; \(|x-1|>4\iff x-1>4\) ou \(x-1<-4\) :
[] \(S=]-\infty;-3[\cup]5;+\infty[\)
\(\dfrac{\left(5\times4^n\right)^2}{\left(4^n\right)^2}=25\)
[] le nombre vaut \(25\in\mathbb{N}\)
2. On multiplie par le conjugué :
\(\dfrac{-1}{2+\sqrt{5}}=\dfrac{-\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=\dfrac{2-\sqrt{5}}{5-4}=2-\sqrt{5}\)
[] les deux nombres sont égaux
3. Facteur commun \(x-2\) :
\((x-2)\left(x^2+2x+4\right)+4(x-2)(x+2)-3(x-2)=(x-2)\left(x^2+6x+9\right)\)
[] \(x^3-8+4\left(x^2-4\right)-3x+6=(x-2)(x+3)^2\)
4. \(3\sqrt{2}-2>0\) ; \(2\sqrt{2}-3<0\) (\(8<9\)) ; \(\sqrt{2}-2<0\) :
\(A=3\sqrt{2}-2-\left(3-2\sqrt{2}\right)+2-\sqrt{2}\)
[] \(A=4\sqrt{2}-3\)
5.
[] \(A\cap B=]-3;5]\) ; \(B\cup C=]-3;+\infty[\) ; \(A\cap C=\emptyset\)
💡 \(|X|=r\iff X=r\) ou \(X=-r\) (\(r\geq0\)) ; \(|X|=|Y|\iff X=Y\) ou \(X=-Y\).
6. a) \(5x+2=8\) ou \(5x+2=-8\) : \(S=\left\{-2;\dfrac{6}{5}\right\}\) ; \(2|x|+1\geq1>0\) : \(S=\emptyset\).
\(2x-1=3x-4\iff x=3\) ou \(2x-1=-3x+4\iff x=1\) :
[] \(S=\{1;3\}\)
b) \(|2x-3|\leq2\iff1\leq2x\leq5\) : \(S=\left[\dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2}\right]\) ; \(|x-1|>4\iff x-1>4\) ou \(x-1<-4\) :
[] \(S=]-\infty;-3[\cup]5;+\infty[\)
Exercice 2 (4.5 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(x\geq-2\) ; \(y\leq-1\) et \(x-y=6\).
1. Calculer : \(A=\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(y+1)^2}\).
2. Montrer que : \(x\leq5\) et \(y\geq-8\).
3. Montrer que : \(1\leq x^2+y^2\leq89\).
4. Calculer : \(B=|x+y-4|+|x+y+10|\).
1. Calculer : \(A=\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(y+1)^2}\).
2. Montrer que : \(x\leq5\) et \(y\geq-8\).
3. Montrer que : \(1\leq x^2+y^2\leq89\).
4. Calculer : \(B=|x+y-4|+|x+y+10|\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(x+2\geq0\) et \(y+1\leq0\) : \(A=|x+2|+|y+1|=x+2-y-1=(x-y)+1\) :
[] \(A=7\)
2. \(x=y+6\leq-1+6=5\) et \(y=x-6\geq-2-6=-8\) :
[] \(x\leq5\) et \(y\geq-8\)
3. \(-2\leq x\leq5\Rightarrow0\leq x^2\leq25\) et \(-8\leq y\leq-1\Rightarrow1\leq y^2\leq64\) :
[] \(1\leq x^2+y^2\leq89\)
4. \(x+y=2x-6\) et \(-2\leq x\leq5\), donc \(-10\leq x+y\leq4\) : \(x+y-4\leq0\) et \(x+y+10\geq0\).
\(B=-(x+y-4)+(x+y+10)\)
[] \(B=14\)
[] \(A=7\)
2. \(x=y+6\leq-1+6=5\) et \(y=x-6\geq-2-6=-8\) :
[] \(x\leq5\) et \(y\geq-8\)
3. \(-2\leq x\leq5\Rightarrow0\leq x^2\leq25\) et \(-8\leq y\leq-1\Rightarrow1\leq y^2\leq64\) :
[] \(1\leq x^2+y^2\leq89\)
4. \(x+y=2x-6\) et \(-2\leq x\leq5\), donc \(-10\leq x+y\leq4\) : \(x+y-4\leq0\) et \(x+y+10\geq0\).
\(B=-(x+y-4)+(x+y+10)\)
[] \(B=14\)
Exercice 3 (5 pts)
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). \(M\) et \(P\) sont deux points tels que \(\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}\) et \(P\) est le milieu du segment \([MC]\).
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{OP}\), puis en déduire que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\).
3. Soit \(H\) le projeté de \(M\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).
b) Montrer que \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{OP}{OB}\).
c) En déduire que les droites \((AC)\) et \((HP)\) sont parallèles.
1. Construire la figure.
2. Montrer que \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{OP}\), puis en déduire que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\).
3. Soit \(H\) le projeté de \(M\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).
a) Montrer que \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).
b) Montrer que \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{OP}{OB}\).
c) En déduire que les droites \((AC)\) et \((HP)\) sont parallèles.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
2. Dans le triangle \(CAM\), \(O\) est le milieu de \([AC]\) et \(P\) celui de \([CM]\) : (droite des milieux)
[] \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{OP}\)
Or \(\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{BP}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\) :
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{DB}\)
[] \(\overrightarrow{AM}=2\times\dfrac{1}{6}\overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\)
3. a) Projection sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)=(AD)\) : \(A\mapsto A\), \(M\mapsto H\), \(D\mapsto A\), \(B\mapsto B\).
[] \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
b) \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{OP}{OB}=\dfrac{\frac{1}{6}DB}{\frac{1}{2}DB}=\dfrac{1}{3}\) :
[] \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{OP}{OB}\)
c) Dans le triangle \(BAO\) : \(H\in[BA]\) avec \(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{2}{3}\) et \(P\in[BO]\) avec \(\dfrac{BP}{BO}=\dfrac{2}{3}\).
[] D’après la réciproque de Thalès, \((HP)\parallel(AO)\), c’est-à-dire \((HP)\parallel(AC)\)
[] \(\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{OP}\)
Or \(\overrightarrow{OB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}\) et \(\overrightarrow{BP}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\) :
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{DB}\)
[] \(\overrightarrow{AM}=2\times\dfrac{1}{6}\overrightarrow{DB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\)
3. a) Projection sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)=(AD)\) : \(A\mapsto A\), \(M\mapsto H\), \(D\mapsto A\), \(B\mapsto B\).
[] \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
b) \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{OP}{OB}=\dfrac{\frac{1}{6}DB}{\frac{1}{2}DB}=\dfrac{1}{3}\) :
[] \(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{OP}{OB}\)
c) Dans le triangle \(BAO\) : \(H\in[BA]\) avec \(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{2}{3}\) et \(P\in[BO]\) avec \(\dfrac{BP}{BO}=\dfrac{2}{3}\).
[] D’après la réciproque de Thalès, \((HP)\parallel(AO)\), c’est-à-dire \((HP)\parallel(AC)\)
Exercice 4 (1 pts)
Soit \(x\) un réel tel que \(x\geq1\). Montrer que : \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\leq\dfrac{1}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
💡 On étudie le signe de la différence et on reconnaît un carré.
\(x>0\) donc :
\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}=\dfrac{x-2\sqrt{x-1}}{2x}=\dfrac{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}{2x}=\dfrac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}{2x}\geq0\)
[] \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\leq\dfrac{1}{2}\)
\(x>0\) donc :
\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}=\dfrac{x-2\sqrt{x-1}}{2x}=\dfrac{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}{2x}=\dfrac{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}{2x}\geq0\)
[] \(\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\leq\dfrac{1}{2}\)