Exercice 1 (10 pts)
1. Calculer les nombres : \(A=\left|\dfrac{\sqrt{2}-1}{-\sqrt{2}}\right|+\left|-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right|\) et \(B=\sqrt{\left(5+\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{7}-5\right)^2}\).
2. Déterminer l’ensemble auquel appartient le réel \(x\) dans chacun des cas : a) \(|x-1|\geq2\) ; b) \(\left|3x-\dfrac{1}{2}\right|<1\).
3. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(0<x<y\). Comparer les nombres \(x\sqrt{y}\) et \(y\sqrt{x}\).
4. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(\dfrac{1}{2}\leq x\leq\dfrac{2}{3}\) et \(|2x+y|\leq\dfrac{2}{3}\).
a) Montrer que : \(-2\leq y\leq-\dfrac{1}{3}\).
b) En déduire que : \(\dfrac{y}{x}\in\left[-4;-\dfrac{1}{2}\right]\).
5. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x>0\) et \(y<0\). On pose \(A=\dfrac{9x-4y}{3x-2y}\). Montrer que : \(2<A<3\).
2. Déterminer l’ensemble auquel appartient le réel \(x\) dans chacun des cas : a) \(|x-1|\geq2\) ; b) \(\left|3x-\dfrac{1}{2}\right|<1\).
3. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(0<x<y\). Comparer les nombres \(x\sqrt{y}\) et \(y\sqrt{x}\).
4. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(\dfrac{1}{2}\leq x\leq\dfrac{2}{3}\) et \(|2x+y|\leq\dfrac{2}{3}\).
a) Montrer que : \(-2\leq y\leq-\dfrac{1}{3}\).
b) En déduire que : \(\dfrac{y}{x}\in\left[-4;-\dfrac{1}{2}\right]\).
5. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(x>0\) et \(y<0\). On pose \(A=\dfrac{9x-4y}{3x-2y}\). Montrer que : \(2<A<3\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1.
\(A=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1\)
\(B=\left|5+\sqrt{7}\right|+\left|\sqrt{7}-5\right|=5+\sqrt{7}+5-\sqrt{7}\) :
[] \(A=1\) et \(B=10\)
2. a) \(x-1\geq2\) ou \(x-1\leq-2\) :
[] \(x\in]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[\)
b) \(-1<3x-\dfrac{1}{2}<1\iff-\dfrac{1}{2}<3x<\dfrac{3}{2}\) :
[] \(x\in\left]-\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{2}\right[\)
3.
\(y\sqrt{x}-x\sqrt{y}=\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)>0\)
[] \(x\sqrt{y}<y\sqrt{x}\)
4. a) \(-\dfrac{2}{3}\leq2x+y\leq\dfrac{2}{3}\) et \(-\dfrac{4}{3}\leq-2x\leq-1\) ; on additionne :
[] \(-2\leq y\leq-\dfrac{1}{3}\)
b) \(\dfrac{1}{3}\leq-y\leq2\) et \(\dfrac{3}{2}\leq\dfrac{1}{x}\leq2\) : \(\dfrac{1}{2}\leq-\dfrac{y}{x}\leq4\),
[] \(\dfrac{y}{x}\in\left[-4;-\dfrac{1}{2}\right]\)
5. \(3x-2y>0\) :
\(A-2=\dfrac{3x}{3x-2y}>0\)
\(A-3=\dfrac{2y}{3x-2y}<0\)
[] \(2<A<3\)
\(A=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1\)
\(B=\left|5+\sqrt{7}\right|+\left|\sqrt{7}-5\right|=5+\sqrt{7}+5-\sqrt{7}\) :
[] \(A=1\) et \(B=10\)
2. a) \(x-1\geq2\) ou \(x-1\leq-2\) :
[] \(x\in]-\infty;-1]\cup[3;+\infty[\)
b) \(-1<3x-\dfrac{1}{2}<1\iff-\dfrac{1}{2}<3x<\dfrac{3}{2}\) :
[] \(x\in\left]-\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{2}\right[\)
3.
\(y\sqrt{x}-x\sqrt{y}=\sqrt{x}\sqrt{y}\left(\sqrt{y}-\sqrt{x}\right)>0\)
[] \(x\sqrt{y}<y\sqrt{x}\)
4. a) \(-\dfrac{2}{3}\leq2x+y\leq\dfrac{2}{3}\) et \(-\dfrac{4}{3}\leq-2x\leq-1\) ; on additionne :
[] \(-2\leq y\leq-\dfrac{1}{3}\)
b) \(\dfrac{1}{3}\leq-y\leq2\) et \(\dfrac{3}{2}\leq\dfrac{1}{x}\leq2\) : \(\dfrac{1}{2}\leq-\dfrac{y}{x}\leq4\),
[] \(\dfrac{y}{x}\in\left[-4;-\dfrac{1}{2}\right]\)
5. \(3x-2y>0\) :
\(A-2=\dfrac{3x}{3x-2y}>0\)
\(A-3=\dfrac{2y}{3x-2y}<0\)
[] \(2<A<3\)
Exercice 2 (3 pts)
Soit \(x\) un réel tel que \(x>4\). On pose \(A=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\).
1. Montrer que : \(A+1=\dfrac{x-1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\).
2. Montrer que : \(|A+1|<\dfrac{1}{2}|x-1|\).
3. En déduire que le nombre \(-1\) est une valeur approchée du nombre \(\dfrac{\sqrt{5{,}8}-1}{2}\) à \(24\times10^{-1}\) près.
1. Montrer que : \(A+1=\dfrac{x-1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\).
2. Montrer que : \(|A+1|<\dfrac{1}{2}|x-1|\).
3. En déduire que le nombre \(-1\) est une valeur approchée du nombre \(\dfrac{\sqrt{5{,}8}-1}{2}\) à \(24\times10^{-1}\) près.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1.
\(A+1=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{x-1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
2. \(x>4\Rightarrow\sqrt{x}>2\Rightarrow\sqrt{x}-1>1\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}<1\) :
[] \(|A+1|<\dfrac{1}{2}|x-1|\)
3. Pour \(x=5{,}8\) : \(\left|\dfrac{\sqrt{5{,}8}-1}{2}-(-1)\right|<\dfrac{1}{2}\times4{,}8=2{,}4\).
[] \(-1\) est une valeur approchée à \(24\times10^{-1}\) près
\(A+1=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{x-1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
2. \(x>4\Rightarrow\sqrt{x}>2\Rightarrow\sqrt{x}-1>1\), donc \(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}<1\) :
[] \(|A+1|<\dfrac{1}{2}|x-1|\)
3. Pour \(x=5{,}8\) : \(\left|\dfrac{\sqrt{5{,}8}-1}{2}-(-1)\right|<\dfrac{1}{2}\times4{,}8=2{,}4\).
[] \(-1\) est une valeur approchée à \(24\times10^{-1}\) près
Exercice 3 (3 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs tels que : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\).
1. Montrer que : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\).
2. Montrer que : \(\dfrac{1}{xy}\geq16\).
3. En déduire que : \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\geq25\).
1. Montrer que : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\).
2. Montrer que : \(\dfrac{1}{xy}\geq16\).
3. En déduire que : \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\geq25\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}\right)^2\geq0\iff\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\geq0\) ✔.
2. \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\geq0\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\geq4\sqrt{xy}\), donc \(1\geq4\sqrt{xy}\) et \(xy\leq\dfrac{1}{16}\) :
[] \(\dfrac{1}{xy}\geq16\)
3. \(\sqrt{xy}\leq\dfrac{1}{4}\) donne \(\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\geq8\) :
\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy}\geq1+8+16\)
[] \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\geq25\)
2. \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\geq0\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\geq4\sqrt{xy}\), donc \(1\geq4\sqrt{xy}\) et \(xy\leq\dfrac{1}{16}\) :
[] \(\dfrac{1}{xy}\geq16\)
3. \(\sqrt{xy}\leq\dfrac{1}{4}\) donne \(\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\geq8\) :
\(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)=1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{xy}\geq1+8+16\)
[] \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\geq25\)
Exercice 4 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(E\) le milieu de \([AB]\).
1. Construire les points \(K\) et \(F\) tels que : \(2\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(4\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}\).
2. Montrer que : \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
3. Écrire \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis en déduire que les points \(E\), \(F\) et \(K\) sont alignés.
4. Soit \(M\) un point du plan. Montrer que : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}\).
1. Construire les points \(K\) et \(F\) tels que : \(2\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) et \(4\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}\).
2. Montrer que : \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
3. Écrire \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis en déduire que les points \(E\), \(F\) et \(K\) sont alignés.
4. Soit \(M\) un point du plan. Montrer que : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
2.
\(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
3.
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\)
[] \(\overrightarrow{EF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EK}\) : \(E\), \(F\) et \(K\) sont alignés
4. \(E\) milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\vec{0}\) :
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{ME}\)
2.
\(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AK}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
3.
\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\)
[] \(\overrightarrow{EF}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EK}\) : \(E\), \(F\) et \(K\) sont alignés
4. \(E\) milieu de \([AB]\) : \(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\vec{0}\) :
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=2\overrightarrow{ME}\)