Exercice 1 (7 pts)
1. Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(2\leq x\leq5\) et \(-3\leq y\leq4\). Encadrer chacun des nombres \(x+y\) ; \(x-y\) ; \(xy\) et \(y^2\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(|2x-3|=|x+1|\).
3. Factoriser : \(A=27x^3-64\) et \(B=x^3+8+3\left(x^2-4\right)-3x-6\).
4. Soit \(a\) un réel tel que \(a\in\left]-1;\dfrac{1}{2}\right[\). Montrer que \(-\dfrac{1}{4}\) est une valeur approchée de \(a\) à \(\dfrac{3}{4}\) près.
5. Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. On pose \(A=\dfrac{12x+10y}{3x+2y}\). Montrer que \(4<A<5\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(|2x-3|=|x+1|\).
3. Factoriser : \(A=27x^3-64\) et \(B=x^3+8+3\left(x^2-4\right)-3x-6\).
4. Soit \(a\) un réel tel que \(a\in\left]-1;\dfrac{1}{2}\right[\). Montrer que \(-\dfrac{1}{4}\) est une valeur approchée de \(a\) à \(\dfrac{3}{4}\) près.
5. Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs. On pose \(A=\dfrac{12x+10y}{3x+2y}\). Montrer que \(4<A<5\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1.
[] \(-1\leq x+y\leq9\) ; \(-4\leq-y\leq3\) donc
[] \(-2\leq x-y\leq8\)
💡 \(y\) change de signe : on sépare \(-3\leq y\leq0\) et \(0\leq y\leq4\).
Si \(0\leq y\leq4\) : \(0\leq xy\leq20\) ; si \(-3\leq y\leq0\) : \(0\leq-y\leq3\) donc \(-15\leq xy\leq0\).
[] \(-15\leq xy\leq20\) et \(0\leq y^2\leq16\)
2. \(2x-3=x+1\iff x=4\) ou \(2x-3=-x-1\iff x=\dfrac{2}{3}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{2}{3};4\right\}\)
3. \(a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\) :
\(A=(3x)^3-4^3=(3x-4)\left(9x^2+12x+16\right)\)
\(x^3+8=(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\) :
\(B=(x+2)\left(x^2-2x+4\right)+3(x-2)(x+2)-3(x+2)=(x+2)\left(x^2+x-5\right)\)
4.
\(-1<a<\dfrac{1}{2}\iff-1+\dfrac{1}{4}<a+\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\iff\left|a-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right|<\dfrac{3}{4}\)
[] \(-\dfrac{1}{4}\) est une valeur approchée de \(a\) à \(\dfrac{3}{4}\) près
5. \(3x+2y>0\) :
\(A-4=\dfrac{2y}{3x+2y}>0\)
\(A-5=\dfrac{-3x}{3x+2y}<0\)
[] \(4<A<5\)
[] \(-1\leq x+y\leq9\) ; \(-4\leq-y\leq3\) donc
[] \(-2\leq x-y\leq8\)
💡 \(y\) change de signe : on sépare \(-3\leq y\leq0\) et \(0\leq y\leq4\).
Si \(0\leq y\leq4\) : \(0\leq xy\leq20\) ; si \(-3\leq y\leq0\) : \(0\leq-y\leq3\) donc \(-15\leq xy\leq0\).
[] \(-15\leq xy\leq20\) et \(0\leq y^2\leq16\)
2. \(2x-3=x+1\iff x=4\) ou \(2x-3=-x-1\iff x=\dfrac{2}{3}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{2}{3};4\right\}\)
3. \(a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)\) :
\(A=(3x)^3-4^3=(3x-4)\left(9x^2+12x+16\right)\)
\(x^3+8=(x+2)\left(x^2-2x+4\right)\) :
\(B=(x+2)\left(x^2-2x+4\right)+3(x-2)(x+2)-3(x+2)=(x+2)\left(x^2+x-5\right)\)
4.
\(-1<a<\dfrac{1}{2}\iff-1+\dfrac{1}{4}<a+\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\iff\left|a-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right|<\dfrac{3}{4}\)
[] \(-\dfrac{1}{4}\) est une valeur approchée de \(a\) à \(\dfrac{3}{4}\) près
5. \(3x+2y>0\) :
\(A-4=\dfrac{2y}{3x+2y}>0\)
\(A-5=\dfrac{-3x}{3x+2y}<0\)
[] \(4<A<5\)
Exercice 2 (2.5 pts)
Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \((3x-1)\in[-3;4]\) et \(\dfrac{1}{y+1}\in[1;2]\).
a) Encadrer \(x\).
b) Montrer que \(-\dfrac{1}{2}\leq y\leq0\), puis en déduire un encadrement du nombre \(3y-x^2\).
a) Encadrer \(x\).
b) Montrer que \(-\dfrac{1}{2}\leq y\leq0\), puis en déduire un encadrement du nombre \(3y-x^2\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
a) \(-3\leq3x-1\leq4\iff-2\leq3x\leq5\) :
[] \(-\dfrac{2}{3}\leq x\leq\dfrac{5}{3}\)
b) \(1\leq\dfrac{1}{y+1}\leq2\iff\dfrac{1}{2}\leq y+1\leq1\) (inverses de nombres positifs) :
[] \(-\dfrac{1}{2}\leq y\leq0\)
\(-\dfrac{3}{2}\leq3y\leq0\) ; \(0\leq x^2\leq\dfrac{25}{9}\) (car \(|x|\leq\dfrac{5}{3}\)), donc \(-\dfrac{25}{9}\leq-x^2\leq0\).
[] \(-\dfrac{77}{18}\leq3y-x^2\leq0\)
[] \(-\dfrac{2}{3}\leq x\leq\dfrac{5}{3}\)
b) \(1\leq\dfrac{1}{y+1}\leq2\iff\dfrac{1}{2}\leq y+1\leq1\) (inverses de nombres positifs) :
[] \(-\dfrac{1}{2}\leq y\leq0\)
\(-\dfrac{3}{2}\leq3y\leq0\) ; \(0\leq x^2\leq\dfrac{25}{9}\) (car \(|x|\leq\dfrac{5}{3}\)), donc \(-\dfrac{25}{9}\leq-x^2\leq0\).
[] \(-\dfrac{77}{18}\leq3y-x^2\leq0\)
Exercice 3 (3 pts)
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(a\geq-2\) ; \(b\leq-1\) et \(a-b=6\).
1. Calculer : \(A=\sqrt{(a+2)^2}+\sqrt{(b+1)^2}\).
2. Montrer que : \(a\leq5\) et \(b\geq-8\).
3. Déterminer la valeur numérique de : \(B=|a+b-4|+|a+b+10|\).
1. Calculer : \(A=\sqrt{(a+2)^2}+\sqrt{(b+1)^2}\).
2. Montrer que : \(a\leq5\) et \(b\geq-8\).
3. Déterminer la valeur numérique de : \(B=|a+b-4|+|a+b+10|\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 \(\sqrt{X^2}=|X|\), puis on enlève les valeurs absolues grâce au signe.
1. \(A=|a+2|+|b+1|=(a+2)-(b+1)=(a-b)+1\) :
[] \(A=7\)
2. \(a=b+6\leq5\) et \(b=a-6\geq-8\) ✔.
3. \(a+b=2a-6\in[-10;4]\) : \(a+b-4\leq0\) et \(a+b+10\geq0\), donc \(B=4-a-b+a+b+10\) :
[] \(B=14\)
1. \(A=|a+2|+|b+1|=(a+2)-(b+1)=(a-b)+1\) :
[] \(A=7\)
2. \(a=b+6\leq5\) et \(b=a-6\geq-8\) ✔.
3. \(a+b=2a-6\in[-10;4]\) : \(a+b-4\leq0\) et \(a+b+10\geq0\), donc \(B=4-a-b+a+b+10\) :
[] \(B=14\)
Exercice 4 (3.5 pts)
Soit \(x\) un élément de l’intervalle \(\left]0;\dfrac{1}{4}\right[\).
1. Montrer que : \(0<\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}<\dfrac{1}{4}\).
2. a) Vérifier que : \(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x=\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1\).
b) En déduire que : \(1+x<\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}<\dfrac{5}{4}+x\).
3. En utilisant ce qui précède, déterminer une valeur approchée par défaut du nombre \(\dfrac{1+\sqrt{(0{,}2)^3}}{0{,}8}\) à \(0{,}25\) près.
1. Montrer que : \(0<\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}<\dfrac{1}{4}\).
2. a) Vérifier que : \(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x=\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1\).
b) En déduire que : \(1+x<\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}<\dfrac{5}{4}+x\).
3. En utilisant ce qui précède, déterminer une valeur approchée par défaut du nombre \(\dfrac{1+\sqrt{(0{,}2)^3}}{0{,}8}\) à \(0{,}25\) près.
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
1. \(0<\sqrt{x}<\dfrac{1}{2}\), donc \(0<x\sqrt{x}<\dfrac{1}{8}\) et \(\dfrac{1}{2}<1-\sqrt{x}<1\), d’où \(1<\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}<2\).
[] Produit de nombres positifs : \(0<\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}<\dfrac{1}{8}\times2=\dfrac{1}{4}\)
💡 \(1+x\sqrt{x}=1+\left(\sqrt{x}\right)^3=\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)\) et \(1-x=\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)\).
2. a)
\(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x=\dfrac{1-\sqrt{x}+x}{1-\sqrt{x}}-x=1+\dfrac{x}{1-\sqrt{x}}-x=1+\dfrac{x-x+x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1\)
b) D’après 1. : \(1<\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1<\dfrac{5}{4}\), donc \(1<\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x<\dfrac{5}{4}\) :
[] \(1+x<\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}<\dfrac{5}{4}+x\)
3. Pour \(x=0{,}2\in\left]0;\dfrac{1}{4}\right[\) : \(x\sqrt{x}=\sqrt{(0{,}2)^3}\) et \(1-x=0{,}8\), donc \(1{,}2<\dfrac{1+\sqrt{(0{,}2)^3}}{0{,}8}<1{,}45\).
[] \(1{,}2\) est une valeur approchée par défaut à \(0{,}25\) près
[] Produit de nombres positifs : \(0<\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}<\dfrac{1}{8}\times2=\dfrac{1}{4}\)
💡 \(1+x\sqrt{x}=1+\left(\sqrt{x}\right)^3=\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1-\sqrt{x}+x\right)\) et \(1-x=\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)\).
2. a)
\(\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x=\dfrac{1-\sqrt{x}+x}{1-\sqrt{x}}-x=1+\dfrac{x}{1-\sqrt{x}}-x=1+\dfrac{x-x+x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}=\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1\)
b) D’après 1. : \(1<\dfrac{x\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}+1<\dfrac{5}{4}\), donc \(1<\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}-x<\dfrac{5}{4}\) :
[] \(1+x<\dfrac{1+x\sqrt{x}}{1-x}<\dfrac{5}{4}+x\)
3. Pour \(x=0{,}2\in\left]0;\dfrac{1}{4}\right[\) : \(x\sqrt{x}=\sqrt{(0{,}2)^3}\) et \(1-x=0{,}8\), donc \(1{,}2<\dfrac{1+\sqrt{(0{,}2)^3}}{0{,}8}<1{,}45\).
[] \(1{,}2\) est une valeur approchée par défaut à \(0{,}25\) près
Exercice 5 (4 pts)
Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) le point de \([BC]\) tel que \(BD=\dfrac{1}{3}BC\).
\(E\) est le projeté de \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\), et \(F\) est le projeté de \(E\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AD)\).
1. Construire une figure.
2. Montrer que : \(\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{3}{2}\).
3. Montrer que : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
4. Montrer que : \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\).
\(E\) est le projeté de \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\), et \(F\) est le projeté de \(E\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AD)\).
1. Construire une figure.
2. Montrer que : \(\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{3}{2}\).
3. Montrer que : \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
4. Montrer que : \(\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 5 — التصحيح
2. \(D\in[BC]\) et \(BD=\dfrac{1}{3}BC\), donc \(CD=\dfrac{2}{3}CB\) : \(\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{3}{2}\).
Dans \(CAB\), \((ED)\parallel(AB)\) : Thalès donne \(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{ED}{AB}\).
[] \(\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{3}{2}\)
3. La projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\) envoie \(B\), \(D\), \(C\) sur \(A\), \(E\), \(C\) et conserve le coefficient :
[] \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
4. La projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AD)\) envoie \(A\), \(E\), \(C\) sur \(D\), \(F\), \(C\) : \(\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DC}\).
[] \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\)