Exercice 1 (8 pts)
Une urne contient \(4\) boules blanches, \(3\) boules rouges et \(1\) boule noire, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément \(3\) boules de l’urne.
1. On considère les événements : \(A\) « obtenir exactement deux boules blanches », \(B\) « obtenir au moins une boule rouge » et \(C\) « obtenir trois boules de même couleur ».
Montrer que \(p(A)=\dfrac{3}{7}\), \(p(B)=\dfrac{23}{28}\) et \(p(C)=\dfrac{5}{56}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
a) Déterminer les valeurs prises par \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
1. On considère les événements : \(A\) « obtenir exactement deux boules blanches », \(B\) « obtenir au moins une boule rouge » et \(C\) « obtenir trois boules de même couleur ».
Montrer que \(p(A)=\dfrac{3}{7}\), \(p(B)=\dfrac{23}{28}\) et \(p(C)=\dfrac{5}{56}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
a) Déterminer les valeurs prises par \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On choisit \(3\) boules parmi \(8\) : \(C_8^3=56\) tirages équiprobables.
\(p(A)=\dfrac{C_4^2\times C_4^1}{56}=\dfrac{6\times4}{56}=\dfrac{3}{7}\) ✔ ; \(\overline{B}\) « aucune rouge » : \(p(B)=1-\dfrac{C_5^3}{56}=1-\dfrac{10}{56}=\dfrac{23}{28}\) ✔.
\(C\) : trois blanches ou trois rouges : \(p(C)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{56}=\dfrac{4+1}{56}=\dfrac{5}{56}\) ✔.
[] 2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2;3\}\)
b) \(p(X=k)=\dfrac{C_3^k\times C_5^{3-k}}{56}\) : \(p(X=0)=\dfrac{10}{56}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{30}{56}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{15}{56}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{1}{56}\) (somme \(=1\) ✔).
c) \(E(X)=\dfrac{0\times10+1\times30+2\times15+3\times1}{56}\)
\(=\dfrac{63}{56}=\dfrac{9}{8}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}\)
\(V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{225}{448}\)
[] \(E(X)=\dfrac{9}{8}\) et \(V(X)=\dfrac{225}{448}\)
\(p(A)=\dfrac{C_4^2\times C_4^1}{56}=\dfrac{6\times4}{56}=\dfrac{3}{7}\) ✔ ; \(\overline{B}\) « aucune rouge » : \(p(B)=1-\dfrac{C_5^3}{56}=1-\dfrac{10}{56}=\dfrac{23}{28}\) ✔.
\(C\) : trois blanches ou trois rouges : \(p(C)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{56}=\dfrac{4+1}{56}=\dfrac{5}{56}\) ✔.
[] 2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2;3\}\)
b) \(p(X=k)=\dfrac{C_3^k\times C_5^{3-k}}{56}\) : \(p(X=0)=\dfrac{10}{56}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{30}{56}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{15}{56}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{1}{56}\) (somme \(=1\) ✔).
c) \(E(X)=\dfrac{0\times10+1\times30+2\times15+3\times1}{56}\)
\(=\dfrac{63}{56}=\dfrac{9}{8}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}\)
\(V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{225}{448}\)
[] \(E(X)=\dfrac{9}{8}\) et \(V(X)=\dfrac{225}{448}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, soit \((S)\) l’ensemble des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4z-1=0\).
1. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;0;-2)\) et de rayon \(R=\sqrt{6}\).
2. Soit \((P):2x+y-z+2=0\).
a) Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\), puis déterminer le point de contact \(E\).
3. Montrer que le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\) coupe \((S)\) selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
1. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;0;-2)\) et de rayon \(R=\sqrt{6}\).
2. Soit \((P):2x+y-z+2=0\).
a) Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\), puis déterminer le point de contact \(E\).
3. Montrer que le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\) coupe \((S)\) selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=1+1+4=6\) :
[] \(\Omega(1;0;-2)\) et \(R=\sqrt{6}\)
2. a) \(d\left(\Omega;(P)\right)=\dfrac{|2+0+2+2|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=R\) :
[] \((P)\) est tangent à \((S)\)
b) \((D):\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=-2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; dans \((P)\) : \(2+4t+t+2+t+2=0\iff t=-1\) :
[] \(E(-1;-1;-1)\)
3. \(d\left(\Omega;(xOy)\right)=|-2|=2<\sqrt{6}\) : cercle de rayon \(\sqrt{6-4}=\sqrt{2}\), de centre le projeté de \(\Omega\) :
[] centre \((1;0;0)\) et rayon \(\sqrt{2}\)
[] \(\Omega(1;0;-2)\) et \(R=\sqrt{6}\)
2. a) \(d\left(\Omega;(P)\right)=\dfrac{|2+0+2+2|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=R\) :
[] \((P)\) est tangent à \((S)\)
b) \((D):\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=-2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; dans \((P)\) : \(2+4t+t+2+t+2=0\iff t=-1\) :
[] \(E(-1;-1;-1)\)
3. \(d\left(\Omega;(xOy)\right)=|-2|=2<\sqrt{6}\) : cercle de rayon \(\sqrt{6-4}=\sqrt{2}\), de centre le projeté de \(\Omega\) :
[] centre \((1;0;0)\) et rayon \(\sqrt{2}\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''+4y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(0)=2\).
c) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
d) Calculer \(I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx\).
2. Résoudre l’équation \((F):2y'+y=2\) et déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0)=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(0)=2\).
c) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
d) Calculer \(I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx\).
2. Résoudre l’équation \((F):2y'+y=2\) et déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0)=0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2+4=0\) : \(r=\pm2i\) :
[] \(y=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\)
b) \(f(0)=\alpha=1\) ; \(f'(0)=2\beta=2\), \(\beta=1\) :
[] \(f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\)
c) \(\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos2x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin2x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos2x+\sin2x=f(x)\)
d) \(I=\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\)
2. \(y'=-\dfrac{1}{2}y+1\) : \(y=\lambda e^{-\frac{x}{2}}+2\) ; \(g(0)=\lambda+2=0\) :
[] \(g(x)=2-2e^{-\frac{x}{2}}\)
[] \(y=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\)
b) \(f(0)=\alpha=1\) ; \(f'(0)=2\beta=2\), \(\beta=1\) :
[] \(f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\)
c) \(\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos2x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin2x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos2x+\sin2x=f(x)\)
d) \(I=\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\)
2. \(y'=-\dfrac{1}{2}y+1\) : \(y=\lambda e^{-\frac{x}{2}}+2\) ; \(g(0)=\lambda+2=0\) :
[] \(g(x)=2-2e^{-\frac{x}{2}}\)