Exercice 1 (8 pts)
Une boîte contient \(2\) boules rouges et \(4\) boules vertes indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément \(2\) boules.
1. Soit \(A\) l’événement « les deux boules tirées sont de même couleur ». Montrer que \(p(A)=\dfrac{7}{15}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète cette expérience \(3\) fois (en remettant les boules dans la boîte après chaque expérience).
a) Calculer la probabilité que l’événement \(A\) soit réalisé exactement deux fois.
b) Soit \(Y\) le nombre de fois où \(A\) est réalisé. Quelle est la loi de \(Y\) ? Calculer \(E(Y)\).
1. Soit \(A\) l’événement « les deux boules tirées sont de même couleur ». Montrer que \(p(A)=\dfrac{7}{15}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète cette expérience \(3\) fois (en remettant les boules dans la boîte après chaque expérience).
a) Calculer la probabilité que l’événement \(A\) soit réalisé exactement deux fois.
b) Soit \(Y\) le nombre de fois où \(A\) est réalisé. Quelle est la loi de \(Y\) ? Calculer \(E(Y)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(C_6^2=15\) tirages ; \(p(A)=\dfrac{C_2^2+C_4^2}{15}=\dfrac{1+6}{15}=\dfrac{7}{15}\) ✔.
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=\dfrac{1}{15}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{C_2^1C_4^1}{15}=\dfrac{8}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{6}{15}\).
b) \(E(X)=\dfrac{0+8+12}{15}=\dfrac{20}{15}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{3}\)
💡 Épreuves répétées : \(p=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\).
3. a) \(p=C_3^2\left(\dfrac{7}{15}\right)^2\left(\dfrac{8}{15}\right)\)
\(=\dfrac{3\times49\times8}{3375}=\dfrac{392}{1125}\)
[] b) \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=3\) et \(p=\dfrac{7}{15}\) : \(E(Y)=np=\dfrac{7}{5}\)
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=\dfrac{1}{15}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{C_2^1C_4^1}{15}=\dfrac{8}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{6}{15}\).
b) \(E(X)=\dfrac{0+8+12}{15}=\dfrac{20}{15}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{3}\)
💡 Épreuves répétées : \(p=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\).
3. a) \(p=C_3^2\left(\dfrac{7}{15}\right)^2\left(\dfrac{8}{15}\right)\)
\(=\dfrac{3\times49\times8}{3375}=\dfrac{392}{1125}\)
[] b) \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=3\) et \(p=\dfrac{7}{15}\) : \(E(Y)=np=\dfrac{7}{5}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, soit \((S)\) l’ensemble des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4z-1=0\).
1. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;0;-2)\) et de rayon \(R=\sqrt{6}\).
2. Soit \((P):2x+y-z+2=0\).
a) Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\), puis déterminer le point de contact \(E\).
3. Montrer que le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\) coupe \((S)\) selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
1. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;0;-2)\) et de rayon \(R=\sqrt{6}\).
2. Soit \((P):2x+y-z+2=0\).
a) Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\), puis déterminer le point de contact \(E\).
3. Montrer que le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\) coupe \((S)\) selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=1+1+4=6\) :
[] \(\Omega(1;0;-2)\) et \(R=\sqrt{6}\)
2. a) \(d\left(\Omega;(P)\right)=\dfrac{|2+0+2+2|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=R\) :
[] \((P)\) est tangent à \((S)\)
b) \((D):\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=-2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; dans \((P)\) : \(2+4t+t+2+t+2=0\iff t=-1\) :
[] \(E(-1;-1;-1)\)
3. \(d\left(\Omega;(xOy)\right)=|-2|=2<\sqrt{6}\) : cercle de rayon \(\sqrt{6-4}=\sqrt{2}\), de centre le projeté de \(\Omega\) :
[] centre \((1;0;0)\) et rayon \(\sqrt{2}\)
[] \(\Omega(1;0;-2)\) et \(R=\sqrt{6}\)
2. a) \(d\left(\Omega;(P)\right)=\dfrac{|2+0+2+2|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=R\) :
[] \((P)\) est tangent à \((S)\)
b) \((D):\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=-2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; dans \((P)\) : \(2+4t+t+2+t+2=0\iff t=-1\) :
[] \(E(-1;-1;-1)\)
3. \(d\left(\Omega;(xOy)\right)=|-2|=2<\sqrt{6}\) : cercle de rayon \(\sqrt{6-4}=\sqrt{2}\), de centre le projeté de \(\Omega\) :
[] centre \((1;0;0)\) et rayon \(\sqrt{2}\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''-4y'+4y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(0)=0\).
2. Par intégration par parties, calculer \(I=\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x)e^{2x}dx\).
3. Résoudre l’équation \((F):y'+y=0\) et déterminer la solution \(h\) telle que \(h(0)=3\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(0)=0\).
2. Par intégration par parties, calculer \(I=\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x)e^{2x}dx\).
3. Résoudre l’équation \((F):y'+y=0\) et déterminer la solution \(h\) telle que \(h(0)=3\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2-4r+4=(r-2)^2=0\) : racine double \(r=2\) :
[] \(y=(\alpha x+\beta)e^{2x}\)
b) \(f(0)=\beta=1\) ; \(f'(x)=\left(\alpha+2\alpha x+2\beta\right)e^{2x}\), \(f'(0)=\alpha+2=0\) :
[] \(f(x)=(1-2x)e^{2x}\)
2. \(u'(x)=e^{2x}\), \(v(x)=1-2x\) : \(I=\left[\dfrac{1-2x}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{e}{2}-1\)
3. \(y'=-y\) : \(y=\lambda e^{-x}\) ; \(h(0)=\lambda=3\) :
[] \(h(x)=3e^{-x}\)
[] \(y=(\alpha x+\beta)e^{2x}\)
b) \(f(0)=\beta=1\) ; \(f'(x)=\left(\alpha+2\alpha x+2\beta\right)e^{2x}\), \(f'(0)=\alpha+2=0\) :
[] \(f(x)=(1-2x)e^{2x}\)
2. \(u'(x)=e^{2x}\), \(v(x)=1-2x\) : \(I=\left[\dfrac{1-2x}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{e}{2}-1\)
3. \(y'=-y\) : \(y=\lambda e^{-x}\) ; \(h(0)=\lambda=3\) :
[] \(h(x)=3e^{-x}\)