Exercice 1 (8 pts)
Une urne contient \(6\) boules indiscernables au toucher, numérotées : \(0\) ; \(1\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(2\) ; \(2\). On tire au hasard et simultanément \(2\) boules.
1. Calculer la probabilité de l’événement \(A\) « le produit des deux numéros tirés est nul ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros tirés.
a) Vérifier que \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
3. Calculer la probabilité de l’événement \(B\) « la somme des numéros est paire ».
1. Calculer la probabilité de l’événement \(A\) « le produit des deux numéros tirés est nul ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros tirés.
a) Vérifier que \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
3. Calculer la probabilité de l’événement \(B\) « la somme des numéros est paire ».
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(C_6^2=15\) ; le produit est nul si et seulement si la boule \(0\) est tirée : \(1\times5=5\) cas :
[] \(p(A)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\)
2. a) Sommes possibles : \(0+1=1\), \(0+2=2\), \(1+1=2\), \(1+2=3\), \(2+2=4\) :
[] \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\)
b) \(p(X=1)=\dfrac{2}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{3+1}{15}=\dfrac{4}{15}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{2\times3}{15}=\dfrac{6}{15}\) ; \(p(X=4)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac{3}{15}\).
c) \(E(X)=\dfrac{2+8+18+12}{15}=\dfrac{8}{3}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{2+16+54+48}{15}=8\)
\(V(X)=8-\dfrac{64}{9}=\dfrac{8}{9}\)
[] 3. \(p(B)=p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{7}{15}\)
[] \(p(A)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\)
2. a) Sommes possibles : \(0+1=1\), \(0+2=2\), \(1+1=2\), \(1+2=3\), \(2+2=4\) :
[] \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\)
b) \(p(X=1)=\dfrac{2}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{3+1}{15}=\dfrac{4}{15}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{2\times3}{15}=\dfrac{6}{15}\) ; \(p(X=4)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac{3}{15}\).
c) \(E(X)=\dfrac{2+8+18+12}{15}=\dfrac{8}{3}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{2+16+54+48}{15}=8\)
\(V(X)=8-\dfrac{64}{9}=\dfrac{8}{9}\)
[] 3. \(p(B)=p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{7}{15}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points \(A(2;-1;0)\), \(B(-1;2;0)\), \(C(2;1;1)\) et la sphère \((S):x^2+y^2+z^2-8x-6y=0\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(4;3;0)\) et pour rayon \(5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\) et en déduire que \(x+y-2z-1=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
b) Vérifier que \(d\left(\Omega;(ABC)\right)=\sqrt{6}\) et en déduire que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) dont on donnera le rayon.
3. Déterminer le centre \(H\) du cercle \((\Gamma)\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(4;3;0)\) et pour rayon \(5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\) et en déduire que \(x+y-2z-1=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
b) Vérifier que \(d\left(\Omega;(ABC)\right)=\sqrt{6}\) et en déduire que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) dont on donnera le rayon.
3. Déterminer le centre \(H\) du cercle \((\Gamma)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-4)^2+(y-3)^2+z^2=16+9=25\) :
[] \(\Omega(4;3;0)\) et \(R=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(-3;3;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;2;1)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3-0)\vec{i}-(-3-0)\vec{j}+(-6-0)\vec{k}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
\(\vec{n}(1;1;-2)\) est normal : \(x+y-2z+d=0\) et \(A\) : \(2-1+d=0\) :
[] \((ABC):x+y-2z-1=0\)
b) \(d=\dfrac{|4+3-0-1|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}<5\) : \(r=\sqrt{25-6}\) :
[] \(r=\sqrt{19}\)
3. \(H\) projeté orthogonal de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=4+t\\y=3+t\\z=-2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(6+6t=0\), \(t=-1\) :
[] \(H(3;2;2)\)
[] \(\Omega(4;3;0)\) et \(R=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(-3;3;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;2;1)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3-0)\vec{i}-(-3-0)\vec{j}+(-6-0)\vec{k}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
\(\vec{n}(1;1;-2)\) est normal : \(x+y-2z+d=0\) et \(A\) : \(2-1+d=0\) :
[] \((ABC):x+y-2z-1=0\)
b) \(d=\dfrac{|4+3-0-1|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}<5\) : \(r=\sqrt{25-6}\) :
[] \(r=\sqrt{19}\)
3. \(H\) projeté orthogonal de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=4+t\\y=3+t\\z=-2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(6+6t=0\), \(t=-1\) :
[] \(H(3;2;2)\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''-2y'+5y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\).
2. a) Résoudre l’équation \((F):y'-3y=6\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((F)\) telle que \(g(0)=1\).
c) Calculer la valeur moyenne de \(g\) sur \([0;\ln2]\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\).
2. a) Résoudre l’équation \((F):y'-3y=6\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((F)\) telle que \(g(0)=1\).
c) Calculer la valeur moyenne de \(g\) sur \([0;\ln2]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2-2r+5=0\) : \(\Delta=-16=(4i)^2\), \(r=1\pm2i\) :
[] \(y=e^x\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)\)
b) \(f(0)=\alpha=0\) ; \(f(x)=\beta e^x\sin(2x)\), \(f'(0)=2\beta=2\) :
[] \(f(x)=e^x\sin(2x)\)
[] 2. a) \(y'=3y+6\) : \(y=\lambda e^{3x}-2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(g(0)=\lambda-2=1\) :
[] \(g(x)=3e^{3x}-2\)
c) \(m=\dfrac{1}{\ln2}\int_0^{\ln2}\left(3e^{3x}-2\right)dx=\dfrac{1}{\ln2}\left[e^{3x}-2x\right]_0^{\ln2}\)
\(=\dfrac{8-2\ln2-1}{\ln2}=\dfrac{7}{\ln2}-2\)
[] \(y=e^x\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)\)
b) \(f(0)=\alpha=0\) ; \(f(x)=\beta e^x\sin(2x)\), \(f'(0)=2\beta=2\) :
[] \(f(x)=e^x\sin(2x)\)
[] 2. a) \(y'=3y+6\) : \(y=\lambda e^{3x}-2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(g(0)=\lambda-2=1\) :
[] \(g(x)=3e^{3x}-2\)
c) \(m=\dfrac{1}{\ln2}\int_0^{\ln2}\left(3e^{3x}-2\right)dx=\dfrac{1}{\ln2}\left[e^{3x}-2x\right]_0^{\ln2}\)
\(=\dfrac{8-2\ln2-1}{\ln2}=\dfrac{7}{\ln2}-2\)