Exercice 1 (8 pts)
Une urne contient \(4\) boules blanches, \(3\) boules rouges et \(1\) boule noire, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément \(3\) boules de l’urne.
1. On considère les événements : \(A\) « obtenir exactement deux boules blanches », \(B\) « obtenir au moins une boule rouge » et \(C\) « obtenir trois boules de même couleur ».
Montrer que \(p(A)=\dfrac{3}{7}\), \(p(B)=\dfrac{23}{28}\) et \(p(C)=\dfrac{5}{56}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
a) Déterminer les valeurs prises par \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
1. On considère les événements : \(A\) « obtenir exactement deux boules blanches », \(B\) « obtenir au moins une boule rouge » et \(C\) « obtenir trois boules de même couleur ».
Montrer que \(p(A)=\dfrac{3}{7}\), \(p(B)=\dfrac{23}{28}\) et \(p(C)=\dfrac{5}{56}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
a) Déterminer les valeurs prises par \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On choisit \(3\) boules parmi \(8\) : \(C_8^3=56\) tirages équiprobables.
\(p(A)=\dfrac{C_4^2\times C_4^1}{56}=\dfrac{6\times4}{56}=\dfrac{3}{7}\) ✔ ; \(\overline{B}\) « aucune rouge » : \(p(B)=1-\dfrac{C_5^3}{56}=1-\dfrac{10}{56}=\dfrac{23}{28}\) ✔.
\(C\) : trois blanches ou trois rouges : \(p(C)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{56}=\dfrac{4+1}{56}=\dfrac{5}{56}\) ✔.
[] 2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2;3\}\)
b) \(p(X=k)=\dfrac{C_3^k\times C_5^{3-k}}{56}\) : \(p(X=0)=\dfrac{10}{56}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{30}{56}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{15}{56}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{1}{56}\) (somme \(=1\) ✔).
c) \(E(X)=\dfrac{0\times10+1\times30+2\times15+3\times1}{56}\)
\(=\dfrac{63}{56}=\dfrac{9}{8}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}\)
\(V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{225}{448}\)
[] \(E(X)=\dfrac{9}{8}\) et \(V(X)=\dfrac{225}{448}\)
\(p(A)=\dfrac{C_4^2\times C_4^1}{56}=\dfrac{6\times4}{56}=\dfrac{3}{7}\) ✔ ; \(\overline{B}\) « aucune rouge » : \(p(B)=1-\dfrac{C_5^3}{56}=1-\dfrac{10}{56}=\dfrac{23}{28}\) ✔.
\(C\) : trois blanches ou trois rouges : \(p(C)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{56}=\dfrac{4+1}{56}=\dfrac{5}{56}\) ✔.
[] 2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2;3\}\)
b) \(p(X=k)=\dfrac{C_3^k\times C_5^{3-k}}{56}\) : \(p(X=0)=\dfrac{10}{56}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{30}{56}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{15}{56}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{1}{56}\) (somme \(=1\) ✔).
c) \(E(X)=\dfrac{0\times10+1\times30+2\times15+3\times1}{56}\)
\(=\dfrac{63}{56}=\dfrac{9}{8}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}\)
\(V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{225}{448}\)
[] \(E(X)=\dfrac{9}{8}\) et \(V(X)=\dfrac{225}{448}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points \(A(2;-1;0)\), \(B(-1;2;0)\), \(C(2;1;1)\) et la sphère \((S):x^2+y^2+z^2-8x-6y=0\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(4;3;0)\) et pour rayon \(5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\) et en déduire que \(x+y-2z-1=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
b) Vérifier que \(d\left(\Omega;(ABC)\right)=\sqrt{6}\) et en déduire que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) dont on donnera le rayon.
3. Déterminer le centre \(H\) du cercle \((\Gamma)\).
1. Montrer que \((S)\) a pour centre \(\Omega(4;3;0)\) et pour rayon \(5\).
2. a) Montrer que \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\) et en déduire que \(x+y-2z-1=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
b) Vérifier que \(d\left(\Omega;(ABC)\right)=\sqrt{6}\) et en déduire que \((ABC)\) coupe \((S)\) selon un cercle \((\Gamma)\) dont on donnera le rayon.
3. Déterminer le centre \(H\) du cercle \((\Gamma)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-4)^2+(y-3)^2+z^2=16+9=25\) :
[] \(\Omega(4;3;0)\) et \(R=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(-3;3;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;2;1)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3-0)\vec{i}-(-3-0)\vec{j}+(-6-0)\vec{k}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
\(\vec{n}(1;1;-2)\) est normal : \(x+y-2z+d=0\) et \(A\) : \(2-1+d=0\) :
[] \((ABC):x+y-2z-1=0\)
b) \(d=\dfrac{|4+3-0-1|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}<5\) : \(r=\sqrt{25-6}\) :
[] \(r=\sqrt{19}\)
3. \(H\) projeté orthogonal de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=4+t\\y=3+t\\z=-2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(6+6t=0\), \(t=-1\) :
[] \(H(3;2;2)\)
[] \(\Omega(4;3;0)\) et \(R=5\)
2. a) \(\overrightarrow{AB}(-3;3;0)\), \(\overrightarrow{AC}(0;2;1)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(3-0)\vec{i}-(-3-0)\vec{j}+(-6-0)\vec{k}=3\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
\(\vec{n}(1;1;-2)\) est normal : \(x+y-2z+d=0\) et \(A\) : \(2-1+d=0\) :
[] \((ABC):x+y-2z-1=0\)
b) \(d=\dfrac{|4+3-0-1|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}<5\) : \(r=\sqrt{25-6}\) :
[] \(r=\sqrt{19}\)
3. \(H\) projeté orthogonal de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=4+t\\y=3+t\\z=-2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(6+6t=0\), \(t=-1\) :
[] \(H(3;2;2)\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E_1):y'=2y-4\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E_1)\) qui vérifie \(f(\ln2)=6\).
c) Calculer \(I=\int_0^{\ln2}\left(f(x)-2\right)dx\).
2. a) Résoudre l’équation différentielle \((E_2):y''+y'-2y=0\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((E_2)\) qui vérifie \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E_1)\) qui vérifie \(f(\ln2)=6\).
c) Calculer \(I=\int_0^{\ln2}\left(f(x)-2\right)dx\).
2. a) Résoudre l’équation différentielle \((E_2):y''+y'-2y=0\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((E_2)\) qui vérifie \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 \(y'=ay+b\) (\(a\neq0\)) : \(y=\lambda e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) ; \(y''+by'+cy=0\) : équation caractéristique \(r^2+br+c=0\).
[] 1. a) \(y=\lambda e^{2x}+2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(f(\ln2)=4\lambda+2=6\iff\lambda=1\) :
[] \(f(x)=e^{2x}+2\)
c) \(I=\int_0^{\ln2}e^{2x}dx=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln2}=\dfrac{4-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{3}{2}\)
2. a) \(r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0\) : \(r_1=1\), \(r_2=-2\) :
[] \(y=\alpha e^x+\beta e^{-2x}\) (\((\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2\))
b) \(g(0)=\alpha+\beta=0\) et \(g'(0)=\alpha-2\beta=1\) : \(\beta=-\dfrac{1}{3}\), \(\alpha=\dfrac{1}{3}\) :
[] \(g(x)=\dfrac{1}{3}\left(e^x-e^{-2x}\right)\)
[] 1. a) \(y=\lambda e^{2x}+2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(f(\ln2)=4\lambda+2=6\iff\lambda=1\) :
[] \(f(x)=e^{2x}+2\)
c) \(I=\int_0^{\ln2}e^{2x}dx=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln2}=\dfrac{4-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{3}{2}\)
2. a) \(r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0\) : \(r_1=1\), \(r_2=-2\) :
[] \(y=\alpha e^x+\beta e^{-2x}\) (\((\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2\))
b) \(g(0)=\alpha+\beta=0\) et \(g'(0)=\alpha-2\beta=1\) : \(\beta=-\dfrac{1}{3}\), \(\alpha=\dfrac{1}{3}\) :
[] \(g(x)=\dfrac{1}{3}\left(e^x-e^{-2x}\right)\)