Exercice 1 (8 pts)
Une urne contient \(4\) boules blanches, \(3\) boules rouges et \(1\) boule noire, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément \(3\) boules de l’urne.
1. On considère les événements : \(A\) « obtenir exactement deux boules blanches », \(B\) « obtenir au moins une boule rouge » et \(C\) « obtenir trois boules de même couleur ».
Montrer que \(p(A)=\dfrac{3}{7}\), \(p(B)=\dfrac{23}{28}\) et \(p(C)=\dfrac{5}{56}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
a) Déterminer les valeurs prises par \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
1. On considère les événements : \(A\) « obtenir exactement deux boules blanches », \(B\) « obtenir au moins une boule rouge » et \(C\) « obtenir trois boules de même couleur ».
Montrer que \(p(A)=\dfrac{3}{7}\), \(p(B)=\dfrac{23}{28}\) et \(p(C)=\dfrac{5}{56}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
a) Déterminer les valeurs prises par \(X\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer l’espérance \(E(X)\) et la variance \(V(X)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. On choisit \(3\) boules parmi \(8\) : \(C_8^3=56\) tirages équiprobables.
\(p(A)=\dfrac{C_4^2\times C_4^1}{56}=\dfrac{6\times4}{56}=\dfrac{3}{7}\) ✔ ; \(\overline{B}\) « aucune rouge » : \(p(B)=1-\dfrac{C_5^3}{56}=1-\dfrac{10}{56}=\dfrac{23}{28}\) ✔.
\(C\) : trois blanches ou trois rouges : \(p(C)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{56}=\dfrac{4+1}{56}=\dfrac{5}{56}\) ✔.
[] 2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2;3\}\)
b) \(p(X=k)=\dfrac{C_3^k\times C_5^{3-k}}{56}\) : \(p(X=0)=\dfrac{10}{56}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{30}{56}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{15}{56}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{1}{56}\) (somme \(=1\) ✔).
c) \(E(X)=\dfrac{0\times10+1\times30+2\times15+3\times1}{56}\)
\(=\dfrac{63}{56}=\dfrac{9}{8}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}\)
\(V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{225}{448}\)
[] \(E(X)=\dfrac{9}{8}\) et \(V(X)=\dfrac{225}{448}\)
\(p(A)=\dfrac{C_4^2\times C_4^1}{56}=\dfrac{6\times4}{56}=\dfrac{3}{7}\) ✔ ; \(\overline{B}\) « aucune rouge » : \(p(B)=1-\dfrac{C_5^3}{56}=1-\dfrac{10}{56}=\dfrac{23}{28}\) ✔.
\(C\) : trois blanches ou trois rouges : \(p(C)=\dfrac{C_4^3+C_3^3}{56}=\dfrac{4+1}{56}=\dfrac{5}{56}\) ✔.
[] 2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2;3\}\)
b) \(p(X=k)=\dfrac{C_3^k\times C_5^{3-k}}{56}\) : \(p(X=0)=\dfrac{10}{56}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{30}{56}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{15}{56}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{1}{56}\) (somme \(=1\) ✔).
c) \(E(X)=\dfrac{0\times10+1\times30+2\times15+3\times1}{56}\)
\(=\dfrac{63}{56}=\dfrac{9}{8}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{30+60+9}{56}=\dfrac{99}{56}\)
\(V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2=\dfrac{99}{56}-\dfrac{81}{64}=\dfrac{225}{448}\)
[] \(E(X)=\dfrac{9}{8}\) et \(V(X)=\dfrac{225}{448}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points \(A(1;0;-2)\), \(B(0;2;0)\), \(C(-1;0;0)\) et \(\Omega(2;-1;1)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(2x-y+2z+2=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. a) Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et tangente à \((ABC)\) a pour équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\).
3. Déterminer les coordonnées du point de contact de \((S)\) et \((ABC)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(2x-y+2z+2=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. a) Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et tangente à \((ABC)\) a pour équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\).
3. Déterminer les coordonnées du point de contact de \((S)\) et \((ABC)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(-1;2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;0;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4-0)\vec{i}-(-2+4)\vec{j}+(0+4)\vec{k}=4\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{n}(2;-1;2)\) normal : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\) : \(2-4+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z+2=0\)
[] 2. a) \(d=\dfrac{|4+1+2+2|}{3}=3\)
b) \(R=d=3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=9\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+6-9=0\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\)
3. Projeté de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(9+9t=0\), \(t=-1\) :
[] point de contact \((0;0;-1)\)
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4-0)\vec{i}-(-2+4)\vec{j}+(0+4)\vec{k}=4\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{n}(2;-1;2)\) normal : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\) : \(2-4+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z+2=0\)
[] 2. a) \(d=\dfrac{|4+1+2+2|}{3}=3\)
b) \(R=d=3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=9\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+6-9=0\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\)
3. Projeté de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(9+9t=0\), \(t=-1\) :
[] point de contact \((0;0;-1)\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''-4y'+4y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(0)=0\).
2. Par intégration par parties, calculer \(I=\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x)e^{2x}dx\).
3. Résoudre l’équation \((F):y'+y=0\) et déterminer la solution \(h\) telle que \(h(0)=3\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(0)=0\).
2. Par intégration par parties, calculer \(I=\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x)e^{2x}dx\).
3. Résoudre l’équation \((F):y'+y=0\) et déterminer la solution \(h\) telle que \(h(0)=3\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2-4r+4=(r-2)^2=0\) : racine double \(r=2\) :
[] \(y=(\alpha x+\beta)e^{2x}\)
b) \(f(0)=\beta=1\) ; \(f'(x)=\left(\alpha+2\alpha x+2\beta\right)e^{2x}\), \(f'(0)=\alpha+2=0\) :
[] \(f(x)=(1-2x)e^{2x}\)
2. \(u'(x)=e^{2x}\), \(v(x)=1-2x\) : \(I=\left[\dfrac{1-2x}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{e}{2}-1\)
3. \(y'=-y\) : \(y=\lambda e^{-x}\) ; \(h(0)=\lambda=3\) :
[] \(h(x)=3e^{-x}\)
[] \(y=(\alpha x+\beta)e^{2x}\)
b) \(f(0)=\beta=1\) ; \(f'(x)=\left(\alpha+2\alpha x+2\beta\right)e^{2x}\), \(f'(0)=\alpha+2=0\) :
[] \(f(x)=(1-2x)e^{2x}\)
2. \(u'(x)=e^{2x}\), \(v(x)=1-2x\) : \(I=\left[\dfrac{1-2x}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{e}{2}-1\)
3. \(y'=-y\) : \(y=\lambda e^{-x}\) ; \(h(0)=\lambda=3\) :
[] \(h(x)=3e^{-x}\)