Exercice 1 (8 pts)
Une boîte contient \(2\) boules rouges et \(4\) boules vertes indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément \(2\) boules.
1. Soit \(A\) l’événement « les deux boules tirées sont de même couleur ». Montrer que \(p(A)=\dfrac{7}{15}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète cette expérience \(3\) fois (en remettant les boules dans la boîte après chaque expérience).
a) Calculer la probabilité que l’événement \(A\) soit réalisé exactement deux fois.
b) Soit \(Y\) le nombre de fois où \(A\) est réalisé. Quelle est la loi de \(Y\) ? Calculer \(E(Y)\).
1. Soit \(A\) l’événement « les deux boules tirées sont de même couleur ». Montrer que \(p(A)=\dfrac{7}{15}\).
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète cette expérience \(3\) fois (en remettant les boules dans la boîte après chaque expérience).
a) Calculer la probabilité que l’événement \(A\) soit réalisé exactement deux fois.
b) Soit \(Y\) le nombre de fois où \(A\) est réalisé. Quelle est la loi de \(Y\) ? Calculer \(E(Y)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(C_6^2=15\) tirages ; \(p(A)=\dfrac{C_2^2+C_4^2}{15}=\dfrac{1+6}{15}=\dfrac{7}{15}\) ✔.
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=\dfrac{1}{15}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{C_2^1C_4^1}{15}=\dfrac{8}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{6}{15}\).
b) \(E(X)=\dfrac{0+8+12}{15}=\dfrac{20}{15}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{3}\)
💡 Épreuves répétées : \(p=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\).
3. a) \(p=C_3^2\left(\dfrac{7}{15}\right)^2\left(\dfrac{8}{15}\right)\)
\(=\dfrac{3\times49\times8}{3375}=\dfrac{392}{1125}\)
[] b) \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=3\) et \(p=\dfrac{7}{15}\) : \(E(Y)=np=\dfrac{7}{5}\)
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=\dfrac{1}{15}\) ; \(p(X=1)=\dfrac{C_2^1C_4^1}{15}=\dfrac{8}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{6}{15}\).
b) \(E(X)=\dfrac{0+8+12}{15}=\dfrac{20}{15}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{3}\)
💡 Épreuves répétées : \(p=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}\).
3. a) \(p=C_3^2\left(\dfrac{7}{15}\right)^2\left(\dfrac{8}{15}\right)\)
\(=\dfrac{3\times49\times8}{3375}=\dfrac{392}{1125}\)
[] b) \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=3\) et \(p=\dfrac{7}{15}\) : \(E(Y)=np=\dfrac{7}{5}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère la sphère \((S):x^2+y^2+z^2=9\), le point \(A(-1;2;2)\) et la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}(1;0;-1)\).
1. Vérifier que \(A\in(S)\) et donner une représentation paramétrique de \((D)\).
2. Montrer que \((D)\) coupe \((S)\) en \(A\) et en un point \(B\) dont on déterminera les coordonnées.
3. a) Calculer \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\) et en déduire une équation du plan \((OAB)\).
b) Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) et calculer son aire.
1. Vérifier que \(A\in(S)\) et donner une représentation paramétrique de \((D)\).
2. Montrer que \((D)\) coupe \((S)\) en \(A\) et en un point \(B\) dont on déterminera les coordonnées.
3. a) Calculer \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\) et en déduire une équation du plan \((OAB)\).
b) Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) et calculer son aire.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(1+4+4=9\) : \(A\in(S)\) ; \((D):\begin{cases}x=-1+t\\y=2\\z=2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\).
2. \((-1+t)^2+4+(2-t)^2=9\)
\(\iff2t^2-6t=0\iff2t(t-3)=0\)
[] \(t=0\) donne \(A\) et \(t=3\) donne \(B(2;2;-1)\)
3. a) \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(-2-4)\vec{i}-(1-4)\vec{j}+(-2-4)\vec{k}\)
\(=-6\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
[] \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal et \(O\in(OAB)\) : \((OAB):2x-y+2z=0\)
b) \(OA=OB=3\) (rayons) et \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-2+4-2=0\) : \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) ; aire \(=\dfrac{OA\times OB}{2}\) :
[] \(\dfrac{9}{2}\) u.a.
2. \((-1+t)^2+4+(2-t)^2=9\)
\(\iff2t^2-6t=0\iff2t(t-3)=0\)
[] \(t=0\) donne \(A\) et \(t=3\) donne \(B(2;2;-1)\)
3. a) \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(-2-4)\vec{i}-(1-4)\vec{j}+(-2-4)\vec{k}\)
\(=-6\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
[] \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal et \(O\in(OAB)\) : \((OAB):2x-y+2z=0\)
b) \(OA=OB=3\) (rayons) et \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-2+4-2=0\) : \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) ; aire \(=\dfrac{OA\times OB}{2}\) :
[] \(\dfrac{9}{2}\) u.a.
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''+4y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(0)=2\).
c) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
d) Calculer \(I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx\).
2. Résoudre l’équation \((F):2y'+y=2\) et déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0)=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(0)=2\).
c) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
d) Calculer \(I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx\).
2. Résoudre l’équation \((F):2y'+y=2\) et déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0)=0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2+4=0\) : \(r=\pm2i\) :
[] \(y=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\)
b) \(f(0)=\alpha=1\) ; \(f'(0)=2\beta=2\), \(\beta=1\) :
[] \(f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\)
c) \(\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos2x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin2x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos2x+\sin2x=f(x)\)
d) \(I=\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\)
2. \(y'=-\dfrac{1}{2}y+1\) : \(y=\lambda e^{-\frac{x}{2}}+2\) ; \(g(0)=\lambda+2=0\) :
[] \(g(x)=2-2e^{-\frac{x}{2}}\)
[] \(y=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\)
b) \(f(0)=\alpha=1\) ; \(f'(0)=2\beta=2\), \(\beta=1\) :
[] \(f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\)
c) \(\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos2x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin2x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos2x+\sin2x=f(x)\)
d) \(I=\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\)
2. \(y'=-\dfrac{1}{2}y+1\) : \(y=\lambda e^{-\frac{x}{2}}+2\) ; \(g(0)=\lambda+2=0\) :
[] \(g(x)=2-2e^{-\frac{x}{2}}\)