Exercice 1 (8 pts)
Un sac contient \(3\) boules blanches et \(2\) boules noires indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise \(2\) boules du sac.
1. Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont blanches », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes » et \(C\) « la deuxième boule tirée est noire ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète l’expérience \(4\) fois (en remettant les boules après chaque expérience). Calculer la probabilité que \(B\) soit réalisé exactement une fois.
1. Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont blanches », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes » et \(C\) « la deuxième boule tirée est noire ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète l’expérience \(4\) fois (en remettant les boules après chaque expérience). Calculer la probabilité que \(B\) soit réalisé exactement une fois.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Tirages successifs sans remise : \(A_5^2=5\times4=20\) cas.
\(p(A)=\dfrac{3\times2}{20}=\dfrac{3}{10}\) ; \(p(B)=\dfrac{3\times2+2\times3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) ; \(p(C)=\dfrac{3\times2+2\times1}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}\).
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=p(A)=\dfrac{6}{20}\) ; \(p(X=1)=p(B)=\dfrac{12}{20}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{2\times1}{20}=\dfrac{2}{20}\).
b) \(E(X)=\dfrac{12+4}{20}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{5}\)
3. \(p=C_4^1\times\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\)
\(=\dfrac{4\times3\times8}{625}=\dfrac{96}{625}\)
\(p(A)=\dfrac{3\times2}{20}=\dfrac{3}{10}\) ; \(p(B)=\dfrac{3\times2+2\times3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) ; \(p(C)=\dfrac{3\times2+2\times1}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}\).
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=p(A)=\dfrac{6}{20}\) ; \(p(X=1)=p(B)=\dfrac{12}{20}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{2\times1}{20}=\dfrac{2}{20}\).
b) \(E(X)=\dfrac{12+4}{20}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{5}\)
3. \(p=C_4^1\times\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\)
\(=\dfrac{4\times3\times8}{625}=\dfrac{96}{625}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points \(A(1;0;-2)\), \(B(0;2;0)\), \(C(-1;0;0)\) et \(\Omega(2;-1;1)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(2x-y+2z+2=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. a) Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et tangente à \((ABC)\) a pour équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\).
3. Déterminer les coordonnées du point de contact de \((S)\) et \((ABC)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(2x-y+2z+2=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. a) Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et tangente à \((ABC)\) a pour équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\).
3. Déterminer les coordonnées du point de contact de \((S)\) et \((ABC)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(-1;2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;0;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4-0)\vec{i}-(-2+4)\vec{j}+(0+4)\vec{k}=4\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{n}(2;-1;2)\) normal : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\) : \(2-4+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z+2=0\)
[] 2. a) \(d=\dfrac{|4+1+2+2|}{3}=3\)
b) \(R=d=3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=9\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+6-9=0\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\)
3. Projeté de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(9+9t=0\), \(t=-1\) :
[] point de contact \((0;0;-1)\)
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4-0)\vec{i}-(-2+4)\vec{j}+(0+4)\vec{k}=4\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{n}(2;-1;2)\) normal : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\) : \(2-4+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z+2=0\)
[] 2. a) \(d=\dfrac{|4+1+2+2|}{3}=3\)
b) \(R=d=3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=9\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+6-9=0\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\)
3. Projeté de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(9+9t=0\), \(t=-1\) :
[] point de contact \((0;0;-1)\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''-4y'+4y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(0)=0\).
2. Par intégration par parties, calculer \(I=\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x)e^{2x}dx\).
3. Résoudre l’équation \((F):y'+y=0\) et déterminer la solution \(h\) telle que \(h(0)=3\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) qui vérifie \(f(0)=1\) et \(f'(0)=0\).
2. Par intégration par parties, calculer \(I=\int_0^{\frac{1}{2}}(1-2x)e^{2x}dx\).
3. Résoudre l’équation \((F):y'+y=0\) et déterminer la solution \(h\) telle que \(h(0)=3\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2-4r+4=(r-2)^2=0\) : racine double \(r=2\) :
[] \(y=(\alpha x+\beta)e^{2x}\)
b) \(f(0)=\beta=1\) ; \(f'(x)=\left(\alpha+2\alpha x+2\beta\right)e^{2x}\), \(f'(0)=\alpha+2=0\) :
[] \(f(x)=(1-2x)e^{2x}\)
2. \(u'(x)=e^{2x}\), \(v(x)=1-2x\) : \(I=\left[\dfrac{1-2x}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{e}{2}-1\)
3. \(y'=-y\) : \(y=\lambda e^{-x}\) ; \(h(0)=\lambda=3\) :
[] \(h(x)=3e^{-x}\)
[] \(y=(\alpha x+\beta)e^{2x}\)
b) \(f(0)=\beta=1\) ; \(f'(x)=\left(\alpha+2\alpha x+2\beta\right)e^{2x}\), \(f'(0)=\alpha+2=0\) :
[] \(f(x)=(1-2x)e^{2x}\)
2. \(u'(x)=e^{2x}\), \(v(x)=1-2x\) : \(I=\left[\dfrac{1-2x}{2}e^{2x}\right]_0^{\frac{1}{2}}+\int_0^{\frac{1}{2}}e^{2x}dx=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{e-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{e}{2}-1\)
3. \(y'=-y\) : \(y=\lambda e^{-x}\) ; \(h(0)=\lambda=3\) :
[] \(h(x)=3e^{-x}\)