Exercice 1 (8 pts)
Un sac contient \(3\) boules blanches et \(2\) boules noires indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise \(2\) boules du sac.
1. Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont blanches », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes » et \(C\) « la deuxième boule tirée est noire ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète l’expérience \(4\) fois (en remettant les boules après chaque expérience). Calculer la probabilité que \(B\) soit réalisé exactement une fois.
1. Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont blanches », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes » et \(C\) « la deuxième boule tirée est noire ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète l’expérience \(4\) fois (en remettant les boules après chaque expérience). Calculer la probabilité que \(B\) soit réalisé exactement une fois.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Tirages successifs sans remise : \(A_5^2=5\times4=20\) cas.
\(p(A)=\dfrac{3\times2}{20}=\dfrac{3}{10}\) ; \(p(B)=\dfrac{3\times2+2\times3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) ; \(p(C)=\dfrac{3\times2+2\times1}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}\).
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=p(A)=\dfrac{6}{20}\) ; \(p(X=1)=p(B)=\dfrac{12}{20}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{2\times1}{20}=\dfrac{2}{20}\).
b) \(E(X)=\dfrac{12+4}{20}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{5}\)
3. \(p=C_4^1\times\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\)
\(=\dfrac{4\times3\times8}{625}=\dfrac{96}{625}\)
\(p(A)=\dfrac{3\times2}{20}=\dfrac{3}{10}\) ; \(p(B)=\dfrac{3\times2+2\times3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) ; \(p(C)=\dfrac{3\times2+2\times1}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}\).
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=p(A)=\dfrac{6}{20}\) ; \(p(X=1)=p(B)=\dfrac{12}{20}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{2\times1}{20}=\dfrac{2}{20}\).
b) \(E(X)=\dfrac{12+4}{20}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{5}\)
3. \(p=C_4^1\times\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\)
\(=\dfrac{4\times3\times8}{625}=\dfrac{96}{625}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, soit \((S)\) l’ensemble des points \(M(x;y;z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4z-1=0\).
1. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;0;-2)\) et de rayon \(R=\sqrt{6}\).
2. Soit \((P):2x+y-z+2=0\).
a) Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\), puis déterminer le point de contact \(E\).
3. Montrer que le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\) coupe \((S)\) selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
1. Montrer que \((S)\) est une sphère de centre \(\Omega(1;0;-2)\) et de rayon \(R=\sqrt{6}\).
2. Soit \((P):2x+y-z+2=0\).
a) Montrer que \((P)\) est tangent à \((S)\).
b) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(\Omega\) et perpendiculaire à \((P)\), puis déterminer le point de contact \(E\).
3. Montrer que le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\) coupe \((S)\) selon un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \((x-1)^2+y^2+(z+2)^2=1+1+4=6\) :
[] \(\Omega(1;0;-2)\) et \(R=\sqrt{6}\)
2. a) \(d\left(\Omega;(P)\right)=\dfrac{|2+0+2+2|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=R\) :
[] \((P)\) est tangent à \((S)\)
b) \((D):\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=-2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; dans \((P)\) : \(2+4t+t+2+t+2=0\iff t=-1\) :
[] \(E(-1;-1;-1)\)
3. \(d\left(\Omega;(xOy)\right)=|-2|=2<\sqrt{6}\) : cercle de rayon \(\sqrt{6-4}=\sqrt{2}\), de centre le projeté de \(\Omega\) :
[] centre \((1;0;0)\) et rayon \(\sqrt{2}\)
[] \(\Omega(1;0;-2)\) et \(R=\sqrt{6}\)
2. a) \(d\left(\Omega;(P)\right)=\dfrac{|2+0+2+2|}{\sqrt{6}}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}=R\) :
[] \((P)\) est tangent à \((S)\)
b) \((D):\begin{cases}x=1+2t\\y=t\\z=-2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\) ; dans \((P)\) : \(2+4t+t+2+t+2=0\iff t=-1\) :
[] \(E(-1;-1;-1)\)
3. \(d\left(\Omega;(xOy)\right)=|-2|=2<\sqrt{6}\) : cercle de rayon \(\sqrt{6-4}=\sqrt{2}\), de centre le projeté de \(\Omega\) :
[] centre \((1;0;0)\) et rayon \(\sqrt{2}\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E_1):y'=2y-4\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E_1)\) qui vérifie \(f(\ln2)=6\).
c) Calculer \(I=\int_0^{\ln2}\left(f(x)-2\right)dx\).
2. a) Résoudre l’équation différentielle \((E_2):y''+y'-2y=0\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((E_2)\) qui vérifie \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E_1)\) qui vérifie \(f(\ln2)=6\).
c) Calculer \(I=\int_0^{\ln2}\left(f(x)-2\right)dx\).
2. a) Résoudre l’équation différentielle \((E_2):y''+y'-2y=0\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((E_2)\) qui vérifie \(g(0)=0\) et \(g'(0)=1\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 \(y'=ay+b\) (\(a\neq0\)) : \(y=\lambda e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) ; \(y''+by'+cy=0\) : équation caractéristique \(r^2+br+c=0\).
[] 1. a) \(y=\lambda e^{2x}+2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(f(\ln2)=4\lambda+2=6\iff\lambda=1\) :
[] \(f(x)=e^{2x}+2\)
c) \(I=\int_0^{\ln2}e^{2x}dx=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln2}=\dfrac{4-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{3}{2}\)
2. a) \(r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0\) : \(r_1=1\), \(r_2=-2\) :
[] \(y=\alpha e^x+\beta e^{-2x}\) (\((\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2\))
b) \(g(0)=\alpha+\beta=0\) et \(g'(0)=\alpha-2\beta=1\) : \(\beta=-\dfrac{1}{3}\), \(\alpha=\dfrac{1}{3}\) :
[] \(g(x)=\dfrac{1}{3}\left(e^x-e^{-2x}\right)\)
[] 1. a) \(y=\lambda e^{2x}+2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(f(\ln2)=4\lambda+2=6\iff\lambda=1\) :
[] \(f(x)=e^{2x}+2\)
c) \(I=\int_0^{\ln2}e^{2x}dx=\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln2}=\dfrac{4-1}{2}\) :
[] \(I=\dfrac{3}{2}\)
2. a) \(r^2+r-2=(r-1)(r+2)=0\) : \(r_1=1\), \(r_2=-2\) :
[] \(y=\alpha e^x+\beta e^{-2x}\) (\((\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2\))
b) \(g(0)=\alpha+\beta=0\) et \(g'(0)=\alpha-2\beta=1\) : \(\beta=-\dfrac{1}{3}\), \(\alpha=\dfrac{1}{3}\) :
[] \(g(x)=\dfrac{1}{3}\left(e^x-e^{-2x}\right)\)