Exercice 1 (8 pts)
Une urne contient \(6\) boules indiscernables au toucher, numérotées : \(0\) ; \(1\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(2\) ; \(2\). On tire au hasard et simultanément \(2\) boules.
1. Calculer la probabilité de l’événement \(A\) « le produit des deux numéros tirés est nul ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros tirés.
a) Vérifier que \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
3. Calculer la probabilité de l’événement \(B\) « la somme des numéros est paire ».
1. Calculer la probabilité de l’événement \(A\) « le produit des deux numéros tirés est nul ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la somme des deux numéros tirés.
a) Vérifier que \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\).
b) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
c) Calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
3. Calculer la probabilité de l’événement \(B\) « la somme des numéros est paire ».
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(C_6^2=15\) ; le produit est nul si et seulement si la boule \(0\) est tirée : \(1\times5=5\) cas :
[] \(p(A)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\)
2. a) Sommes possibles : \(0+1=1\), \(0+2=2\), \(1+1=2\), \(1+2=3\), \(2+2=4\) :
[] \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\)
b) \(p(X=1)=\dfrac{2}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{3+1}{15}=\dfrac{4}{15}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{2\times3}{15}=\dfrac{6}{15}\) ; \(p(X=4)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac{3}{15}\).
c) \(E(X)=\dfrac{2+8+18+12}{15}=\dfrac{8}{3}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{2+16+54+48}{15}=8\)
\(V(X)=8-\dfrac{64}{9}=\dfrac{8}{9}\)
[] 3. \(p(B)=p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{7}{15}\)
[] \(p(A)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\)
2. a) Sommes possibles : \(0+1=1\), \(0+2=2\), \(1+1=2\), \(1+2=3\), \(2+2=4\) :
[] \(X(\Omega)=\{1;2;3;4\}\)
b) \(p(X=1)=\dfrac{2}{15}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{3+1}{15}=\dfrac{4}{15}\) ; \(p(X=3)=\dfrac{2\times3}{15}=\dfrac{6}{15}\) ; \(p(X=4)=\dfrac{C_3^2}{15}=\dfrac{3}{15}\).
c) \(E(X)=\dfrac{2+8+18+12}{15}=\dfrac{8}{3}\)
\(E\left(X^2\right)=\dfrac{2+16+54+48}{15}=8\)
\(V(X)=8-\dfrac{64}{9}=\dfrac{8}{9}\)
[] 3. \(p(B)=p(X=2)+p(X=4)=\dfrac{7}{15}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, on considère les points \(A(1;0;-2)\), \(B(0;2;0)\), \(C(-1;0;0)\) et \(\Omega(2;-1;1)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(2x-y+2z+2=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. a) Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et tangente à \((ABC)\) a pour équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\).
3. Déterminer les coordonnées du point de contact de \((S)\) et \((ABC)\).
1. Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(2x-y+2z+2=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. a) Calculer la distance de \(\Omega\) au plan \((ABC)\).
b) En déduire que la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et tangente à \((ABC)\) a pour équation \(x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\).
3. Déterminer les coordonnées du point de contact de \((S)\) et \((ABC)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(-1;2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;0;2)\) :
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4-0)\vec{i}-(-2+4)\vec{j}+(0+4)\vec{k}=4\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{n}(2;-1;2)\) normal : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\) : \(2-4+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z+2=0\)
[] 2. a) \(d=\dfrac{|4+1+2+2|}{3}=3\)
b) \(R=d=3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=9\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+6-9=0\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\)
3. Projeté de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(9+9t=0\), \(t=-1\) :
[] point de contact \((0;0;-1)\)
\(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(4-0)\vec{i}-(-2+4)\vec{j}+(0+4)\vec{k}=4\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{k}\)
\(\vec{n}(2;-1;2)\) normal : \(2x-y+2z+d=0\) et \(A\) : \(2-4+d=0\) :
[] \((ABC):2x-y+2z+2=0\)
[] 2. a) \(d=\dfrac{|4+1+2+2|}{3}=3\)
b) \(R=d=3\) : \((x-2)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=9\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z+6-9=0\)
\(\iff x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0\)
3. Projeté de \(\Omega\) : \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) dans \((ABC)\) : \(9+9t=0\), \(t=-1\) :
[] point de contact \((0;0;-1)\)
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''+4y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(0)=2\).
c) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
d) Calculer \(I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx\).
2. Résoudre l’équation \((F):2y'+y=2\) et déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0)=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=1\) et \(f'(0)=2\).
c) Vérifier que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f(x)=\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\).
d) Calculer \(I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}f(x)\,dx\).
2. Résoudre l’équation \((F):2y'+y=2\) et déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0)=0\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2+4=0\) : \(r=\pm2i\) :
[] \(y=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\)
b) \(f(0)=\alpha=1\) ; \(f'(0)=2\beta=2\), \(\beta=1\) :
[] \(f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\)
c) \(\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos2x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin2x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos2x+\sin2x=f(x)\)
d) \(I=\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\)
2. \(y'=-\dfrac{1}{2}y+1\) : \(y=\lambda e^{-\frac{x}{2}}+2\) ; \(g(0)=\lambda+2=0\) :
[] \(g(x)=2-2e^{-\frac{x}{2}}\)
[] \(y=\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\)
b) \(f(0)=\alpha=1\) ; \(f'(0)=2\beta=2\), \(\beta=1\) :
[] \(f(x)=\cos(2x)+\sin(2x)\)
c) \(\sqrt{2}\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos2x\cos\dfrac{\pi}{4}+\sin2x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)
\(=\cos2x+\sin2x=f(x)\)
d) \(I=\left[\dfrac{\sin(2x)}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\dfrac{1}{2}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)=1\)
2. \(y'=-\dfrac{1}{2}y+1\) : \(y=\lambda e^{-\frac{x}{2}}+2\) ; \(g(0)=\lambda+2=0\) :
[] \(g(x)=2-2e^{-\frac{x}{2}}\)