Exercice 1 (8 pts)
Un sac contient \(3\) boules blanches et \(2\) boules noires indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise \(2\) boules du sac.
1. Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont blanches », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes » et \(C\) « la deuxième boule tirée est noire ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète l’expérience \(4\) fois (en remettant les boules après chaque expérience). Calculer la probabilité que \(B\) soit réalisé exactement une fois.
1. Calculer la probabilité des événements : \(A\) « les deux boules sont blanches », \(B\) « les deux boules sont de couleurs différentes » et \(C\) « la deuxième boule tirée est noire ».
2. Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules noires tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
b) Calculer \(E(X)\).
3. On répète l’expérience \(4\) fois (en remettant les boules après chaque expérience). Calculer la probabilité que \(B\) soit réalisé exactement une fois.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Tirages successifs sans remise : \(A_5^2=5\times4=20\) cas.
\(p(A)=\dfrac{3\times2}{20}=\dfrac{3}{10}\) ; \(p(B)=\dfrac{3\times2+2\times3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) ; \(p(C)=\dfrac{3\times2+2\times1}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}\).
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=p(A)=\dfrac{6}{20}\) ; \(p(X=1)=p(B)=\dfrac{12}{20}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{2\times1}{20}=\dfrac{2}{20}\).
b) \(E(X)=\dfrac{12+4}{20}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{5}\)
3. \(p=C_4^1\times\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\)
\(=\dfrac{4\times3\times8}{625}=\dfrac{96}{625}\)
\(p(A)=\dfrac{3\times2}{20}=\dfrac{3}{10}\) ; \(p(B)=\dfrac{3\times2+2\times3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) ; \(p(C)=\dfrac{3\times2+2\times1}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}\).
2. a) \(X(\Omega)=\{0;1;2\}\) : \(p(X=0)=p(A)=\dfrac{6}{20}\) ; \(p(X=1)=p(B)=\dfrac{12}{20}\) ; \(p(X=2)=\dfrac{2\times1}{20}=\dfrac{2}{20}\).
b) \(E(X)=\dfrac{12+4}{20}\) :
[] \(E(X)=\dfrac{4}{5}\)
3. \(p=C_4^1\times\dfrac{3}{5}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^3\)
\(=\dfrac{4\times3\times8}{625}=\dfrac{96}{625}\)
Exercice 2 (6 pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\), on considère la sphère \((S):x^2+y^2+z^2=9\), le point \(A(-1;2;2)\) et la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}(1;0;-1)\).
1. Vérifier que \(A\in(S)\) et donner une représentation paramétrique de \((D)\).
2. Montrer que \((D)\) coupe \((S)\) en \(A\) et en un point \(B\) dont on déterminera les coordonnées.
3. a) Calculer \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\) et en déduire une équation du plan \((OAB)\).
b) Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) et calculer son aire.
1. Vérifier que \(A\in(S)\) et donner une représentation paramétrique de \((D)\).
2. Montrer que \((D)\) coupe \((S)\) en \(A\) et en un point \(B\) dont on déterminera les coordonnées.
3. a) Calculer \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\) et en déduire une équation du plan \((OAB)\).
b) Montrer que le triangle \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) et calculer son aire.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(1+4+4=9\) : \(A\in(S)\) ; \((D):\begin{cases}x=-1+t\\y=2\\z=2-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\).
2. \((-1+t)^2+4+(2-t)^2=9\)
\(\iff2t^2-6t=0\iff2t(t-3)=0\)
[] \(t=0\) donne \(A\) et \(t=3\) donne \(B(2;2;-1)\)
3. a) \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(-2-4)\vec{i}-(1-4)\vec{j}+(-2-4)\vec{k}\)
\(=-6\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
[] \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal et \(O\in(OAB)\) : \((OAB):2x-y+2z=0\)
b) \(OA=OB=3\) (rayons) et \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-2+4-2=0\) : \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) ; aire \(=\dfrac{OA\times OB}{2}\) :
[] \(\dfrac{9}{2}\) u.a.
2. \((-1+t)^2+4+(2-t)^2=9\)
\(\iff2t^2-6t=0\iff2t(t-3)=0\)
[] \(t=0\) donne \(A\) et \(t=3\) donne \(B(2;2;-1)\)
3. a) \(\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}=(-2-4)\vec{i}-(1-4)\vec{j}+(-2-4)\vec{k}\)
\(=-6\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}\)
[] \(\vec{n}(2;-1;2)\) est normal et \(O\in(OAB)\) : \((OAB):2x-y+2z=0\)
b) \(OA=OB=3\) (rayons) et \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-2+4-2=0\) : \(OAB\) est rectangle isocèle en \(O\) ; aire \(=\dfrac{OA\times OB}{2}\) :
[] \(\dfrac{9}{2}\) u.a.
Exercice 3 (6 pts)
1. a) Résoudre l’équation différentielle \((E):y''-2y'+5y=0\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\).
2. a) Résoudre l’équation \((F):y'-3y=6\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((F)\) telle que \(g(0)=1\).
c) Calculer la valeur moyenne de \(g\) sur \([0;\ln2]\).
b) Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\).
2. a) Résoudre l’équation \((F):y'-3y=6\).
b) Déterminer la solution \(g\) de \((F)\) telle que \(g(0)=1\).
c) Calculer la valeur moyenne de \(g\) sur \([0;\ln2]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(r^2-2r+5=0\) : \(\Delta=-16=(4i)^2\), \(r=1\pm2i\) :
[] \(y=e^x\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)\)
b) \(f(0)=\alpha=0\) ; \(f(x)=\beta e^x\sin(2x)\), \(f'(0)=2\beta=2\) :
[] \(f(x)=e^x\sin(2x)\)
[] 2. a) \(y'=3y+6\) : \(y=\lambda e^{3x}-2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(g(0)=\lambda-2=1\) :
[] \(g(x)=3e^{3x}-2\)
c) \(m=\dfrac{1}{\ln2}\int_0^{\ln2}\left(3e^{3x}-2\right)dx=\dfrac{1}{\ln2}\left[e^{3x}-2x\right]_0^{\ln2}\)
\(=\dfrac{8-2\ln2-1}{\ln2}=\dfrac{7}{\ln2}-2\)
[] \(y=e^x\left(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\right)\)
b) \(f(0)=\alpha=0\) ; \(f(x)=\beta e^x\sin(2x)\), \(f'(0)=2\beta=2\) :
[] \(f(x)=e^x\sin(2x)\)
[] 2. a) \(y'=3y+6\) : \(y=\lambda e^{3x}-2\) (\(\lambda\in\mathbb{R}\))
b) \(g(0)=\lambda-2=1\) :
[] \(g(x)=3e^{3x}-2\)
c) \(m=\dfrac{1}{\ln2}\int_0^{\ln2}\left(3e^{3x}-2\right)dx=\dfrac{1}{\ln2}\left[e^{3x}-2x\right]_0^{\ln2}\)
\(=\dfrac{8-2\ln2-1}{\ln2}=\dfrac{7}{\ln2}-2\)