Exercice 1 (6 pts)
1. Simplifier : \(B=\ln(3e)+\ln\left(\dfrac{e^2}{3}\right)\) et \(C=\ln50+\ln2-2\ln10\).
2. Déterminer le domaine de définition de \(k(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2-\ln x}}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(3-\ln x=0\) ; b) \(\ln x=3\ln2\) ; c) \(\ln^2x-5\ln x+6\leq0\).
4. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+5x)}{x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x^2-1}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-2\ln x\right)\).
5. Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x)=x\ln x-2x\) sur \(]0;+\infty[\), puis étudier les variations de \(f\).
2. Déterminer le domaine de définition de \(k(x)=\dfrac{x}{\sqrt{2-\ln x}}\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(3-\ln x=0\) ; b) \(\ln x=3\ln2\) ; c) \(\ln^2x-5\ln x+6\leq0\).
4. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+5x)}{x}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x^2-1}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x-2\ln x\right)\).
5. Calculer \(f'(x)\) pour \(f(x)=x\ln x-2x\) sur \(]0;+\infty[\), puis étudier les variations de \(f\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(B=1+\ln3+2-\ln3=3\) ; \(C=\ln(50\times2)-\ln100=0\).
2. \(x>0\) et \(2-\ln x>0\iff x<e^2\) :
[] \(D_k=\left]0;e^2\right[\)
3. a) \(\ln x=3\iff x=e^3\) ; b) \(\ln x=\ln8\iff x=8\) ; c) \(t=\ln x\) : \((t-2)(t-3)\leq0\iff2\leq t\leq3\) :
[] \(S_a=\left\{e^3\right\}\) ; \(S_b=\{8\}\) ; \(S_c=\left[e^2;e^3\right]\)
4. a) \(X=5x\) : \(5\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to5\) ; b) \(\dfrac{\ln x}{x-1}\times\dfrac{1}{x+1}\to\dfrac{1}{2}\) ; c) \(x\left(1-2\dfrac{\ln x}{x}\right)\to+\infty\) :
[] \(5\) ; \(\dfrac{1}{2}\) ; \(+\infty\)
5. \(f'(x)=\ln x+1-2\)
\(=\ln x-1\)
[] \(f'(x)<0\) sur \(]0;e[\) et \(f'(x)>0\) sur \(]e;+\infty[\) : \(f\) décroissante puis croissante, minimum \(f(e)=-e\)
2. \(x>0\) et \(2-\ln x>0\iff x<e^2\) :
[] \(D_k=\left]0;e^2\right[\)
3. a) \(\ln x=3\iff x=e^3\) ; b) \(\ln x=\ln8\iff x=8\) ; c) \(t=\ln x\) : \((t-2)(t-3)\leq0\iff2\leq t\leq3\) :
[] \(S_a=\left\{e^3\right\}\) ; \(S_b=\{8\}\) ; \(S_c=\left[e^2;e^3\right]\)
4. a) \(X=5x\) : \(5\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to5\) ; b) \(\dfrac{\ln x}{x-1}\times\dfrac{1}{x+1}\to\dfrac{1}{2}\) ; c) \(x\left(1-2\dfrac{\ln x}{x}\right)\to+\infty\) :
[] \(5\) ; \(\dfrac{1}{2}\) ; \(+\infty\)
5. \(f'(x)=\ln x+1-2\)
\(=\ln x-1\)
[] \(f'(x)<0\) sur \(]0;e[\) et \(f'(x)>0\) sur \(]e;+\infty[\) : \(f\) décroissante puis croissante, minimum \(f(e)=-e\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \(f(x)=\sqrt{2x+3}\) sur \(\left[-\dfrac{3}{2};+\infty\right[\) et \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).
1. Montrer que \(f\) est croissante et que \(f([0;3])\subset[0;3]\).
2. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n\leq3\).
3. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(3-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\) ; en déduire la monotonie de \((u_n)\).
4. En déduire que \((u_n)\) converge et calculer sa limite.
1. Montrer que \(f\) est croissante et que \(f([0;3])\subset[0;3]\).
2. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n\leq3\).
3. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(3-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\) ; en déduire la monotonie de \((u_n)\).
4. En déduire que \((u_n)\) converge et calculer sa limite.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(x\mapsto2x+3\) et \(\sqrt{\ }\) sont croissantes : \(f\) croissante ; \(f([0;3])=\left[\sqrt{3};3\right]\subset[0;3]\).
2. Récurrence : \(u_0=0\in[0;3]\) ✔ ; si \(u_n\in[0;3]\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in f([0;3])\subset[0;3]\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n\leq3\)
3. \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n+3}-u_n\)
\(=\dfrac{2u_n+3-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\)
\(=\dfrac{(3-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\)
Avec \(0\leq u_n\leq3\) : \(u_{n+1}-u_n\geq0\) :
[] \((u_n)\) est croissante
4. Croissante et majorée par \(3\) : convergente ; \(f\) continue sur \([0;3]\) : la limite \(\ell\in[0;3]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\).
\(\sqrt{2\ell+3}=\ell\iff\ell^2-2\ell-3=0\quad(\ell\geq0)\)
\(\iff(\ell-3)(\ell+1)=0\)
[] \(\ell=-1\) est rejeté : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
2. Récurrence : \(u_0=0\in[0;3]\) ✔ ; si \(u_n\in[0;3]\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in f([0;3])\subset[0;3]\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 0\leq u_n\leq3\)
3. \(u_{n+1}-u_n=\sqrt{2u_n+3}-u_n\)
\(=\dfrac{2u_n+3-u_n^2}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\)
\(=\dfrac{(3-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2u_n+3}+u_n}\)
Avec \(0\leq u_n\leq3\) : \(u_{n+1}-u_n\geq0\) :
[] \((u_n)\) est croissante
4. Croissante et majorée par \(3\) : convergente ; \(f\) continue sur \([0;3]\) : la limite \(\ell\in[0;3]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\).
\(\sqrt{2\ell+3}=\ell\iff\ell^2-2\ell-3=0\quad(\ell\geq0)\)
\(\iff(\ell-3)(\ell+1)=0\)
[] \(\ell=-1\) est rejeté : \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x\sqrt{x^2-4}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. a) Montrer que \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\).
b) Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter graphiquement.
3. a) Montrer que \((\forall x>2)\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\) ; étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\) et interpréter.
b) Montrer que \((\forall x>2)\ f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\) ; en déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([2;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Résoudre l’équation \(g(x)=x\), puis calculer \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)\).
1. a) Montrer que \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\).
b) Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter graphiquement.
3. a) Montrer que \((\forall x>2)\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\) ; étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\) et interpréter.
b) Montrer que \((\forall x>2)\ f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\) ; en déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([2;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Résoudre l’équation \(g(x)=x\), puis calculer \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(f(x)\) existe si \(x^2-4\geq0\), soit \((x-2)(x+2)\geq0\) :
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\)
b) Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-x\sqrt{x^2-4}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire (\(O\) centre de symétrie)
2. \(x\to+\infty\) et \(\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\)
3. a) \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\)
Le numérateur tend vers \(2\times2=4\) et \(\sqrt{x-2}\to0^+\) : le taux tend vers \(+\infty\) :
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\) : demi-tangente verticale au point \((2;0)\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) car \(x^2-4>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]2;+\infty[\) :
\(f'(x)=\sqrt{x^2-4}+x\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{x^2-4+x^2}{\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\)
Pour \(x>2\) : \(x^2-2>0\), donc \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(2\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\)
4. a) \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2;+\infty[\) : \(J=\left[g(2);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[\) :
[] \(J=[0;+\infty[\)
b) \(g(x)=x\iff x\sqrt{x^2-4}=x\)
\(\iff\sqrt{x^2-4}=1\quad(x\geq2)\)
\(\iff x^2=5\)
\(\iff x=\sqrt{5}\)
\(g\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\) et \(g'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{2(5-2)}{\sqrt{1}}=6\neq0\) :
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{1}{g'\left(\sqrt{5}\right)}=\dfrac{1}{6}\)
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\)
b) Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-x\sqrt{x^2-4}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire (\(O\) centre de symétrie)
2. \(x\to+\infty\) et \(\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\)
3. a) \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\)
Le numérateur tend vers \(2\times2=4\) et \(\sqrt{x-2}\to0^+\) : le taux tend vers \(+\infty\) :
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\) : demi-tangente verticale au point \((2;0)\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) car \(x^2-4>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]2;+\infty[\) :
\(f'(x)=\sqrt{x^2-4}+x\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{x^2-4+x^2}{\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\)
Pour \(x>2\) : \(x^2-2>0\), donc \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(2\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\)
4. a) \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2;+\infty[\) : \(J=\left[g(2);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[\) :
[] \(J=[0;+\infty[\)
b) \(g(x)=x\iff x\sqrt{x^2-4}=x\)
\(\iff\sqrt{x^2-4}=1\quad(x\geq2)\)
\(\iff x^2=5\)
\(\iff x=\sqrt{5}\)
\(g\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\) et \(g'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{2(5-2)}{\sqrt{1}}=6\neq0\) :
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{1}{g'\left(\sqrt{5}\right)}=\dfrac{1}{6}\)