Exercice 1 (6 pts)
1. Déterminer le domaine de définition de : \(f(x)=\ln\left(x^2-1\right)\) ; \(g(x)=\ln(\ln x)\) ; \(h(x)=\dfrac{1}{\ln x}\).
2. Montrer que \(\ln\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\ln\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(x+1)-\ln x=\ln2\) ; b) \(2\ln^2x-\ln x-1>0\) ; c) \(\ln\left(x^2\right)=2\).
4. a) Montrer que \((\forall x>0)\ \ln\left(x^3+1\right)=3\ln x+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\).
b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-\ln\left(x^3+1\right)\right)\).
2. Montrer que \(\ln\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\ln\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=0\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(x+1)-\ln x=\ln2\) ; b) \(2\ln^2x-\ln x-1>0\) ; c) \(\ln\left(x^2\right)=2\).
4. a) Montrer que \((\forall x>0)\ \ln\left(x^3+1\right)=3\ln x+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\).
b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-\ln\left(x^3+1\right)\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(x^2-1>0\iff|x|>1\) : \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\) ; \(\ln x>0\iff x>1\) : \(D_g=]1;+\infty[\) ; \(x>0\) et \(\ln x\neq0\) : \(D_h=]0;1[\cup]1;+\infty[\).
2. \(\ln\left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right]=\ln(3-2)=\ln1=0\) ✔.
3. a) \(x>0\) : \(\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln2\iff\dfrac{x+1}{x}=2\)
\(\iff x=1\)
[] \(S=\{1\}\)
b) \(t=\ln x\) : \(2t^2-t-1=(t-1)(2t+1)>0\iff t<-\dfrac{1}{2}\) ou \(t>1\) :
[] \(S=\left]0;e^{-\frac{1}{2}}\right[\cup]e;+\infty[\)
c) Domaine : \(x\neq0\) ; \(\ln\left(x^2\right)=2\iff x^2=e^2\iff x=e\) ou \(x=-e\) :
[] \(S=\{-e;e\}\)
4. a) \(\ln\left(x^3+1\right)=\ln\left[x^3\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\right]\)
\(=3\ln x+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\)
b) \(x^2-\ln\left(x^3+1\right)=x^2\left(1-3\times\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{1}{x}\right)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\)
\(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), la parenthèse tend vers \(1\) et \(\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\to0\) :
[] \(+\infty\)
2. \(\ln\left[\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\right]=\ln(3-2)=\ln1=0\) ✔.
3. a) \(x>0\) : \(\ln\dfrac{x+1}{x}=\ln2\iff\dfrac{x+1}{x}=2\)
\(\iff x=1\)
[] \(S=\{1\}\)
b) \(t=\ln x\) : \(2t^2-t-1=(t-1)(2t+1)>0\iff t<-\dfrac{1}{2}\) ou \(t>1\) :
[] \(S=\left]0;e^{-\frac{1}{2}}\right[\cup]e;+\infty[\)
c) Domaine : \(x\neq0\) ; \(\ln\left(x^2\right)=2\iff x^2=e^2\iff x=e\) ou \(x=-e\) :
[] \(S=\{-e;e\}\)
4. a) \(\ln\left(x^3+1\right)=\ln\left[x^3\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\right]\)
\(=3\ln x+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\)
b) \(x^2-\ln\left(x^3+1\right)=x^2\left(1-3\times\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{1}{x}\right)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\)
\(\dfrac{\ln x}{x}\to0\), la parenthèse tend vers \(1\) et \(\ln\left(1+\dfrac{1}{x^3}\right)\to0\) :
[] \(+\infty\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\).
4. En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{u_n}\). Montrer que \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\).
4. En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Récurrence : \(u_0=1>0\) ✔ ; si \(u_n>0\), alors \(1+2u_n>0\) et \(u_{n+1}>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-u_n-2u_n^2}{1+2u_n}\)
\(=\dfrac{-2u_n^2}{1+2u_n}<0\)
Décroissante et minorée par \(0\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(w_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_n}+2\)
\(=w_n+2\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\) et \(w_0=1\)
4. \(w_n=1+2n\), donc \(u_n=\dfrac{1}{2n+1}\to0\) :
[] \(u_n=\dfrac{1}{2n+1}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-u_n-2u_n^2}{1+2u_n}\)
\(=\dfrac{-2u_n^2}{1+2u_n}<0\)
Décroissante et minorée par \(0\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(w_{n+1}=\dfrac{1+2u_n}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_n}+2\)
\(=w_n+2\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(2\) et \(w_0=1\)
4. \(w_n=1+2n\), donc \(u_n=\dfrac{1}{2n+1}\to0\) :
[] \(u_n=\dfrac{1}{2n+1}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=x\left(\sqrt{x}-3\right)^2\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et donner l’équation de la demi-tangente en \(O\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que \(f(x)-x=x\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)\) ; en déduire les points d’intersection de \((C_f)\) et de la droite \(y=x\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((C_f)\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et donner l’équation de la demi-tangente en \(O\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que \(f(x)-x=x\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)\) ; en déduire les points d’intersection de \((C_f)\) et de la droite \(y=x\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(x\to+\infty\) et \(\left(\sqrt{x}-3\right)^2\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\left(\sqrt{x}-3\right)^2\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
2. \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\left(\sqrt{x}-3\right)^2\)
\(\to9\)
[] \(f\) est dérivable à droite en \(0\), \(f'_d(0)=9\) : demi-tangente \(y=9x\) (\(x\geq0\))
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est un produit de fonctions dérivables. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=\left(\sqrt{x}-3\right)^2+x\times2\left(\sqrt{x}-3\right)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-3+\sqrt{x}\right)\)
\(=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)\)
\(f'(x)=0\iff x=\dfrac{9}{4}\) ou \(x=9\) ; \(f\left(\dfrac{9}{4}\right)=\dfrac{9}{4}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{81}{16}\) et \(f(9)=0\).
4. \(f(x)-x=x\left[\left(\sqrt{x}-3\right)^2-1\right]\)
\(=x\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\)
\(f(x)=x\iff x=0\) ou \(\sqrt{x}=2\) ou \(\sqrt{x}=4\) :
[] \(O(0;0)\), \(A(4;4)\) et \(B(16;16)\)
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
2. \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\left(\sqrt{x}-3\right)^2\)
\(\to9\)
[] \(f\) est dérivable à droite en \(0\), \(f'_d(0)=9\) : demi-tangente \(y=9x\) (\(x\geq0\))
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est un produit de fonctions dérivables. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=\left(\sqrt{x}-3\right)^2+x\times2\left(\sqrt{x}-3\right)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-3+\sqrt{x}\right)\)
\(=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)\)
\(f'(x)=0\iff x=\dfrac{9}{4}\) ou \(x=9\) ; \(f\left(\dfrac{9}{4}\right)=\dfrac{9}{4}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{81}{16}\) et \(f(9)=0\).
4. \(f(x)-x=x\left[\left(\sqrt{x}-3\right)^2-1\right]\)
\(=x\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}-2\right)\)
\(f(x)=x\iff x=0\) ou \(\sqrt{x}=2\) ou \(\sqrt{x}=4\) :
[] \(O(0;0)\), \(A(4;4)\) et \(B(16;16)\)