Exercice 1 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
2. Montrer que \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Résoudre l’équation \(f(x)=0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(\dfrac{1}{e}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
2. Montrer que \(f'(x)=-\dfrac{\ln x}{x^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Résoudre l’équation \(f(x)=0\).
4. Donner une équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(\dfrac{1}{e}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. En \(0^+\) : \(1+\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) (asymptote verticale \(x=0\)).
En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}\to0\) (asymptote horizontale : l’axe des abscisses).
2. \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)}{x^2}\)
\(=-\dfrac{\ln x}{x^2}\)
\(f'(x)>0\) sur \(]0;1[\), \(f'(x)<0\) sur \(]1;+\infty[\) ; \(f(1)=1\).
3. \(f(x)=0\iff1+\ln x=0\iff x=e^{-1}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{1}{e}\right\}\)
4. \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=0\) et \(f'\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{-1}{e^{-2}}=e^2\) :
\(y=e^2\left(x-\dfrac{1}{e}\right)+0\)
[] \((T):y=e^2x-e\)
En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln x}{x}\to0\) (asymptote horizontale : l’axe des abscisses).
2. \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-(1+\ln x)}{x^2}\)
\(=-\dfrac{\ln x}{x^2}\)
\(f'(x)>0\) sur \(]0;1[\), \(f'(x)<0\) sur \(]1;+\infty[\) ; \(f(1)=1\).
3. \(f(x)=0\iff1+\ln x=0\iff x=e^{-1}\) :
[] \(S=\left\{\dfrac{1}{e}\right\}\)
4. \(f\left(\dfrac{1}{e}\right)=0\) et \(f'\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{-1}{e^{-2}}=e^2\) :
\(y=e^2\left(x-\dfrac{1}{e}\right)+0\)
[] \((T):y=e^2x-e\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=\dfrac{5}{2}\) et \(u_{n+1}=\dfrac{6}{5-u_n}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n<3\).
2. Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-2)(u_n-3)}{5-u_n}\) et étudier la monotonie de \((u_n)\).
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-3}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\).
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n<3\).
2. Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{(u_n-2)(u_n-3)}{5-u_n}\) et étudier la monotonie de \((u_n)\).
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-3}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\).
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Récurrence : \(2<\dfrac{5}{2}<3\) ✔. Si \(2<u_n<3\) : \(2<5-u_n<3\), donc \(\dfrac{6}{3}<\dfrac{6}{5-u_n}<\dfrac{6}{2}\), soit \(2<u_{n+1}<3\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{6-5u_n+u_n^2}{5-u_n}\)
\(=\dfrac{(u_n-2)(u_n-3)}{5-u_n}\)
\(u_n-2>0\), \(u_n-3<0\), \(5-u_n>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\) :
[] \((u_n)\) est décroissante (et convergente, minorée par \(2\))
3. a) \(u_{n+1}-2=\dfrac{2(u_n-2)}{5-u_n}\) et \(u_{n+1}-3=\dfrac{3(u_n-3)}{5-u_n}\), donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-2)}{3(u_n-3)}\)
\(=\dfrac{2}{3}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\), avec \(v_0=\dfrac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1\)
b) \(v_n=-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) ; \(v_n(u_n-3)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2-3v_n\) :
[] \(u_n=\dfrac{2+3\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 2<u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{6-5u_n+u_n^2}{5-u_n}\)
\(=\dfrac{(u_n-2)(u_n-3)}{5-u_n}\)
\(u_n-2>0\), \(u_n-3<0\), \(5-u_n>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\) :
[] \((u_n)\) est décroissante (et convergente, minorée par \(2\))
3. a) \(u_{n+1}-2=\dfrac{2(u_n-2)}{5-u_n}\) et \(u_{n+1}-3=\dfrac{3(u_n-3)}{5-u_n}\), donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-2)}{3(u_n-3)}\)
\(=\dfrac{2}{3}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{3}\), avec \(v_0=\dfrac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}=-1\)
b) \(v_n=-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) ; \(v_n(u_n-3)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2-3v_n\) :
[] \(u_n=\dfrac{2+3\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par \(f(x)=x+\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) ; interpréter la première limite.
2. Étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Calculer \(f(1)\) et en déduire le signe de \(f(x)\) sur \(]0;+\infty[\).
5. Montrer que \(f(x)-x=\dfrac{x\sqrt{x}-2}{x}\) et étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta):y=x\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) ; interpréter la première limite.
2. Étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Calculer \(f(1)\) et en déduire le signe de \(f(x)\) sur \(]0;+\infty[\).
5. Montrer que \(f(x)-x=\dfrac{x\sqrt{x}-2}{x}\) et étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta):y=x\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. En \(0^+\) : \(-\dfrac{2}{x}\to-\infty\) : \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) (la droite \(x=0\) est asymptote verticale) ; en \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
2. \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^2}\to1\) et \(f(x)-x=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction \(y=x\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est une somme de fonctions dérivables. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{x^2}>0\)
4. \(f(1)=1+1-2=0\) et \(f\) strictement croissante : \(f(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(f(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
5. \(f(x)-x=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x}-2}{x}\)
\(x\sqrt{x}>2\iff x^{\frac{3}{2}}>2\iff x>\sqrt[3]{4}\) :
[] \((C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(\left]0;\sqrt[3]{4}\right[\) et au-dessus sur \(\left]\sqrt[3]{4};+\infty\right[\)
2. \(\dfrac{f(x)}{x}=1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^2}\to1\) et \(f(x)-x=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction \(y=x\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est une somme de fonctions dérivables. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=1+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{2}{x^2}>0\)
4. \(f(1)=1+1-2=0\) et \(f\) strictement croissante : \(f(x)<0\) sur \(]0;1[\) et \(f(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
5. \(f(x)-x=\sqrt{x}-\dfrac{2}{x}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x}-2}{x}\)
\(x\sqrt{x}>2\iff x^{\frac{3}{2}}>2\iff x>\sqrt[3]{4}\) :
[] \((C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(\left]0;\sqrt[3]{4}\right[\) et au-dessus sur \(\left]\sqrt[3]{4};+\infty\right[\)