Exercice 1 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{4}{u_n}\right)\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\), puis que \(u_{n+1}-2=\dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{2u_n}\) ; en déduire que \(u_n\geq2\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{6}\left(u_n-2\right)\) (on remarquera que \(u_n\leq3\)).
b) En déduire que \(0\leq u_n-2\leq\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>0\), puis que \(u_{n+1}-2=\dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{2u_n}\) ; en déduire que \(u_n\geq2\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{6}\left(u_n-2\right)\) (on remarquera que \(u_n\leq3\)).
b) En déduire que \(0\leq u_n-2\leq\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. Récurrence : \(u_0=3>0\) ; si \(u_n>0\), alors \(u_n+\dfrac{4}{u_n}>0\), donc \(u_{n+1}>0\).
\(u_{n+1}-2=\dfrac{u_n^2+4-4u_n}{2u_n}\)
\(=\dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{2u_n}\geq0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ u_n\geq2\), et \(u_0=3\geq2\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4-u_n^2}{2u_n}\)
\(=\dfrac{(2-u_n)(2+u_n)}{2u_n}\leq0\)
Décroissante et minorée par \(2\) :
[] \((u_n)\) est convergente (et \(u_n\leq u_0=3\))
3. a) \(u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{2u_n}\times\left(u_n-2\right)\)
Or \(\dfrac{u_n-2}{2u_n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{u_n}\leq\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\) (car \(u_n\leq3\)) et \(u_n-2\geq0\) :
[] \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{6}\left(u_n-2\right)\)
b) Par récurrence : \(u_0-2=1=\left(\dfrac{1}{6}\right)^0\) et \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n+1}\).
\(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\to0\) ; par limites et ordre :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\)
\(u_{n+1}-2=\dfrac{u_n^2+4-4u_n}{2u_n}\)
\(=\dfrac{\left(u_n-2\right)^2}{2u_n}\geq0\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N}^*)\ u_n\geq2\), et \(u_0=3\geq2\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4-u_n^2}{2u_n}\)
\(=\dfrac{(2-u_n)(2+u_n)}{2u_n}\leq0\)
Décroissante et minorée par \(2\) :
[] \((u_n)\) est convergente (et \(u_n\leq u_0=3\))
3. a) \(u_{n+1}-2=\dfrac{u_n-2}{2u_n}\times\left(u_n-2\right)\)
Or \(\dfrac{u_n-2}{2u_n}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{u_n}\leq\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\) (car \(u_n\leq3\)) et \(u_n-2\geq0\) :
[] \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{6}\left(u_n-2\right)\)
b) Par récurrence : \(u_0-2=1=\left(\dfrac{1}{6}\right)^0\) et \(u_{n+1}-2\leq\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right)^n=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n+1}\).
\(\left(\dfrac{1}{6}\right)^n\to0\) ; par limites et ordre :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2\)
Exercice 2 (8 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1200\) et \(u_{n+1}=\dfrac{999}{1000}u_n+1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=u_n-1000\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{999}{1000}\), puis que \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\), et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<1100\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=u_n-1000\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{999}{1000}\), puis que \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\), et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<1100\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Récurrence : \(u_0=1200>1000\) ✔ ; si \(u_n>1000\), alors \(\dfrac{999}{1000}u_n>999\), donc \(u_{n+1}>1000\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\)
2. \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{1000}u_n\)
\(=\dfrac{1000-u_n}{1000}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1000\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(v_{n+1}=\dfrac{999}{1000}u_n+1-1000\)
\(=\dfrac{999}{1000}(u_n-1000)\)
\(=\dfrac{999}{1000}v_n\)
\(v_0=200\), donc \(v_n=200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\) :
[] \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\)
\(0<\dfrac{999}{1000}<1\) : \(\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1000\)
4. 💡 On isole la puissance, puis on applique \(\ln\) (strictement croissante) ; attention : \(\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<0\) change le sens de l’inégalité.
\(u_n<1100\iff200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<100\)
\(\iff\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<\dfrac{1}{2}\)
\(\iff n\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<-\ln2\)
\(\iff n>\dfrac{\ln2}{\ln1000-\ln999}\approx692{,}8\)
[] le plus petit entier est \(n=693\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\)
2. \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{1000}u_n\)
\(=\dfrac{1000-u_n}{1000}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1000\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(v_{n+1}=\dfrac{999}{1000}u_n+1-1000\)
\(=\dfrac{999}{1000}(u_n-1000)\)
\(=\dfrac{999}{1000}v_n\)
\(v_0=200\), donc \(v_n=200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\) :
[] \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\)
\(0<\dfrac{999}{1000}<1\) : \(\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1000\)
4. 💡 On isole la puissance, puis on applique \(\ln\) (strictement croissante) ; attention : \(\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<0\) change le sens de l’inégalité.
\(u_n<1100\iff200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<100\)
\(\iff\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<\dfrac{1}{2}\)
\(\iff n\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<-\ln2\)
\(\iff n>\dfrac{\ln2}{\ln1000-\ln999}\approx692{,}8\)
[] le plus petit entier est \(n=693\)
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\).
1. Montrer que \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\).
2. Montrer que \(f\) est impaire ; interpréter graphiquement.
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
4. Montrer que \((\forall x>1)\ f'(x)=\dfrac{-2}{x^2-1}\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
5. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1;+\infty[\), puis déterminer \(\alpha\).
1. Montrer que \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\).
2. Montrer que \(f\) est impaire ; interpréter graphiquement.
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
4. Montrer que \((\forall x>1)\ f'(x)=\dfrac{-2}{x^2-1}\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
5. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1;+\infty[\), puis déterminer \(\alpha\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(f(x)\) existe si \(x\neq1\) et \(\dfrac{x+1}{x-1}>0\) :
[] \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\)
2. Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et :
\(f(-x)=\ln\left(\dfrac{-x+1}{-x-1}\right)\)
\(=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\)
\(=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
3. En \(+\infty\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to1\) et \(\ln1=0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale.
En \(1^+\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty\) (« \(\dfrac{2}{0^+}\) ») : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
4. Sur \(]1;+\infty[\) : \(x+1>0\) et \(x-1>0\), donc \(f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)\) est dérivable et :
\(f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)
\(=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x^2-1}\)
\(=\dfrac{-2}{x^2-1}\)
\(x^2-1>0\) sur \(]1;+\infty[\) : \(f'(x)<0\), \(f\) est strictement décroissante.
5. \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\), \(f(]1;+\infty[)=]0;+\infty[\) et \(1\in]0;+\infty[\) : la solution existe et elle est unique.
\(f(x)=1\iff\dfrac{x+1}{x-1}=e\)
\(\iff x+1=ex-e\)
\(\iff x=\dfrac{e+1}{e-1}\)
[] \(\alpha=\dfrac{e+1}{e-1}\)
[] \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\)
2. Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et :
\(f(-x)=\ln\left(\dfrac{-x+1}{-x-1}\right)\)
\(=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\)
\(=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
3. En \(+\infty\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to1\) et \(\ln1=0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale.
En \(1^+\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty\) (« \(\dfrac{2}{0^+}\) ») : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
4. Sur \(]1;+\infty[\) : \(x+1>0\) et \(x-1>0\), donc \(f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)\) est dérivable et :
\(f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)
\(=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x^2-1}\)
\(=\dfrac{-2}{x^2-1}\)
\(x^2-1>0\) sur \(]1;+\infty[\) : \(f'(x)<0\), \(f\) est strictement décroissante.
5. \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\), \(f(]1;+\infty[)=]0;+\infty[\) et \(1\in]0;+\infty[\) : la solution existe et elle est unique.
\(f(x)=1\iff\dfrac{x+1}{x-1}=e\)
\(\iff x+1=ex-e\)
\(\iff x=\dfrac{e+1}{e-1}\)
[] \(\alpha=\dfrac{e+1}{e-1}\)