Exercice 1 (6 pts)
1. Déterminer le domaine de définition de : \(f(x)=\ln(3-x)\) ; \(g(x)=\ln\left((x-2)^2\right)\) ; \(h(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{1-\ln x}}\).
2. Montrer que \(\ln2+\ln\left(2+\sqrt{2}\right)+\ln\left(2-\sqrt{2}\right)=2\ln2\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(2\ln x+6=0\) ; b) \(\ln^2x-4\ln x+3\leq0\) ; c) \(1-2\ln x<0\).
4. Calculer \(f'(x)\) sur \(]1;+\infty[\) : a) \(f(x)=\sqrt{\ln x}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\).
5. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x^2}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x^2-x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\ln x}\).
2. Montrer que \(\ln2+\ln\left(2+\sqrt{2}\right)+\ln\left(2-\sqrt{2}\right)=2\ln2\).
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(2\ln x+6=0\) ; b) \(\ln^2x-4\ln x+3\leq0\) ; c) \(1-2\ln x<0\).
4. Calculer \(f'(x)\) sur \(]1;+\infty[\) : a) \(f(x)=\sqrt{\ln x}\) ; b) \(f(x)=\dfrac{x}{\ln x}\).
5. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x^2}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x^2-x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\ln x}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 \(\ln u\) existe si \(u>0\) ; \(\ln\) est strictement croissante : \(\ln a\leq\ln b\iff a\leq b\) ; limites usuelles : \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) en \(+\infty\), \(\dfrac{\ln x}{x-1}\to1\) en \(1\).
1. \(3-x>0\) : \(D_f=]-\infty;3[\) ; \((x-2)^2>0\iff x\neq2\) : \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) ; \(x>0\) et \(\ln x<1\) : \(D_h=]0;e[\).
2. \(\ln\left(2+\sqrt{2}\right)+\ln\left(2-\sqrt{2}\right)=\ln(4-2)\)
\(=\ln2\)
donc la somme vaut \(\ln2+\ln2=2\ln2\) ✔.
3. a) \(2\ln x+6=0\iff\ln x=-3\)
\(\iff x=e^{-3}\)
[] \(S=\left\{e^{-3}\right\}\)
b) \(t=\ln x\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)\leq0\iff1\leq t\leq3\), soit \(e\leq x\leq e^3\) :
[] \(S=\left[e;e^3\right]\)
c) \(1-2\ln x<0\iff\ln x>\dfrac{1}{2}\)
\(\iff x>\sqrt{e}\)
[] \(S=\left]\sqrt{e};+\infty\right[\)
4. a) \(u=\ln x>0\) et \(\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\)
b) Quotient :
[] \(f'(x)=\dfrac{\ln x-x\times\frac{1}{x}}{\ln^2x}=\dfrac{\ln x-1}{\ln^2x}\)
5. a) \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(-\infty\)
b) \(\dfrac{\ln x}{x^2-x}=\dfrac{\ln x}{x-1}\times\dfrac{1}{x}\to1\times1\) :
[] \(1\)
c) \(\dfrac{x}{\ln x}=\dfrac{1}{\frac{\ln x}{x}}\) avec \(\dfrac{\ln x}{x}\to0^+\) :
[] \(+\infty\)
1. \(3-x>0\) : \(D_f=]-\infty;3[\) ; \((x-2)^2>0\iff x\neq2\) : \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}\) ; \(x>0\) et \(\ln x<1\) : \(D_h=]0;e[\).
2. \(\ln\left(2+\sqrt{2}\right)+\ln\left(2-\sqrt{2}\right)=\ln(4-2)\)
\(=\ln2\)
donc la somme vaut \(\ln2+\ln2=2\ln2\) ✔.
3. a) \(2\ln x+6=0\iff\ln x=-3\)
\(\iff x=e^{-3}\)
[] \(S=\left\{e^{-3}\right\}\)
b) \(t=\ln x\) : \(t^2-4t+3=(t-1)(t-3)\leq0\iff1\leq t\leq3\), soit \(e\leq x\leq e^3\) :
[] \(S=\left[e;e^3\right]\)
c) \(1-2\ln x<0\iff\ln x>\dfrac{1}{2}\)
\(\iff x>\sqrt{e}\)
[] \(S=\left]\sqrt{e};+\infty\right[\)
4. a) \(u=\ln x>0\) et \(\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{1}{2x\sqrt{\ln x}}\)
b) Quotient :
[] \(f'(x)=\dfrac{\ln x-x\times\frac{1}{x}}{\ln^2x}=\dfrac{\ln x-1}{\ln^2x}\)
5. a) \(\ln x\to-\infty\) et \(\dfrac{1}{x^2}\to+\infty\) :
[] \(-\infty\)
b) \(\dfrac{\ln x}{x^2-x}=\dfrac{\ln x}{x-1}\times\dfrac{1}{x}\to1\times1\) :
[] \(1\)
c) \(\dfrac{x}{\ln x}=\dfrac{1}{\frac{\ln x}{x}}\) avec \(\dfrac{\ln x}{x}\to0^+\) :
[] \(+\infty\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n+5}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \(u_{n+1}+2=\dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}\), puis que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-2\).
2. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n+2)^2}{u_n+5}\) ; en déduire que \((u_n)\) est décroissante et convergente.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{u_n+2}\).
a) Montrer que \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{3}{n+1}-2\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer que \(u_{n+1}+2=\dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}\), puis que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-2\).
2. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n+2)^2}{u_n+5}\) ; en déduire que \((u_n)\) est décroissante et convergente.
3. On pose \(w_n=\dfrac{1}{u_n+2}\).
a) Montrer que \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\).
b) En déduire que \(u_n=\dfrac{3}{n+1}-2\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(u_{n+1}+2=\dfrac{u_n-4+2u_n+10}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{3u_n+6}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}\)
Récurrence : \(u_0=1>-2\) ✔ ; si \(u_n>-2\) : \(u_n+2>0\) et \(u_n+5>3>0\), donc \(u_{n+1}+2>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-2\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-4-u_n^2-5u_n}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-\left(u_n^2+4u_n+4\right)}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-(u_n+2)^2}{u_n+5}\)
\((u_n+2)^2>0\) et \(u_n+5>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\) ; décroissante et minorée par \(-2\) :
[] \((u_n)\) est décroissante et convergente
3. a) \(w_{n+1}=\dfrac{u_n+5}{3(u_n+2)}\)
\(=\dfrac{(u_n+2)+3}{3(u_n+2)}\)
\(=\dfrac{1}{3}+w_n\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et \(w_0=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}\)
b) \(w_n=w_0+\dfrac{n}{3}\)
\(=\dfrac{n+1}{3}\)
\(u_n=\dfrac{1}{w_n}-2\)
\(=\dfrac{3}{n+1}-2\)
\(\dfrac{3}{n+1}\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-2\)
\(=\dfrac{3u_n+6}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}\)
Récurrence : \(u_0=1>-2\) ✔ ; si \(u_n>-2\) : \(u_n+2>0\) et \(u_n+5>3>0\), donc \(u_{n+1}+2>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>-2\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-4-u_n^2-5u_n}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-\left(u_n^2+4u_n+4\right)}{u_n+5}\)
\(=\dfrac{-(u_n+2)^2}{u_n+5}\)
\((u_n+2)^2>0\) et \(u_n+5>0\) : \(u_{n+1}-u_n<0\) ; décroissante et minorée par \(-2\) :
[] \((u_n)\) est décroissante et convergente
3. a) \(w_{n+1}=\dfrac{u_n+5}{3(u_n+2)}\)
\(=\dfrac{(u_n+2)+3}{3(u_n+2)}\)
\(=\dfrac{1}{3}+w_n\)
[] \((w_n)\) est arithmétique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et \(w_0=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}\)
b) \(w_n=w_0+\dfrac{n}{3}\)
\(=\dfrac{n+1}{3}\)
\(u_n=\dfrac{1}{w_n}-2\)
\(=\dfrac{3}{n+1}-2\)
\(\dfrac{3}{n+1}\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-2\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x\sqrt{x^2-4}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. a) Montrer que \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\).
b) Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter graphiquement.
3. a) Montrer que \((\forall x>2)\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\) ; étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\) et interpréter.
b) Montrer que \((\forall x>2)\ f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\) ; en déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([2;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Résoudre l’équation \(g(x)=x\), puis calculer \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)\).
1. a) Montrer que \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\).
b) Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter graphiquement.
3. a) Montrer que \((\forall x>2)\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\) ; étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\) et interpréter.
b) Montrer que \((\forall x>2)\ f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\) ; en déduire que \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([2;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Résoudre l’équation \(g(x)=x\), puis calculer \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(f(x)\) existe si \(x^2-4\geq0\), soit \((x-2)(x+2)\geq0\) :
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\)
b) Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-x\sqrt{x^2-4}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire (\(O\) centre de symétrie)
2. \(x\to+\infty\) et \(\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\)
3. a) \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\)
Le numérateur tend vers \(2\times2=4\) et \(\sqrt{x-2}\to0^+\) : le taux tend vers \(+\infty\) :
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\) : demi-tangente verticale au point \((2;0)\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) car \(x^2-4>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]2;+\infty[\) :
\(f'(x)=\sqrt{x^2-4}+x\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{x^2-4+x^2}{\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\)
Pour \(x>2\) : \(x^2-2>0\), donc \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(2\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\)
4. a) \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2;+\infty[\) : \(J=\left[g(2);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[\) :
[] \(J=[0;+\infty[\)
b) \(g(x)=x\iff x\sqrt{x^2-4}=x\)
\(\iff\sqrt{x^2-4}=1\quad(x\geq2)\)
\(\iff x^2=5\)
\(\iff x=\sqrt{5}\)
\(g\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\) et \(g'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{2(5-2)}{\sqrt{1}}=6\neq0\) :
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{1}{g'\left(\sqrt{5}\right)}=\dfrac{1}{6}\)
[] \(D_f=]-\infty;-2]\cup[2;+\infty[\)
b) Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et \(f(-x)=-x\sqrt{x^2-4}=-f(x)\) :
[] \(f\) est impaire (\(O\) centre de symétrie)
2. \(x\to+\infty\) et \(\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=\sqrt{x^2-4}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\)
3. a) \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{(x-2)(x+2)}}{x-2}\)
\(=\dfrac{x\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-2}}\)
Le numérateur tend vers \(2\times2=4\) et \(\sqrt{x-2}\to0^+\) : le taux tend vers \(+\infty\) :
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\) : demi-tangente verticale au point \((2;0)\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) car \(x^2-4>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]2;+\infty[\) :
\(f'(x)=\sqrt{x^2-4}+x\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{x^2-4+x^2}{\sqrt{x^2-4}}\)
\(=\dfrac{2\left(x^2-2\right)}{\sqrt{x^2-4}}\)
Pour \(x>2\) : \(x^2-2>0\), donc \(f'(x)>0\) ; \(f\) est continue en \(2\) :
[] \(f\) est strictement croissante sur \([2;+\infty[\)
4. a) \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2;+\infty[\) : \(J=\left[g(2);\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\right[\) :
[] \(J=[0;+\infty[\)
b) \(g(x)=x\iff x\sqrt{x^2-4}=x\)
\(\iff\sqrt{x^2-4}=1\quad(x\geq2)\)
\(\iff x^2=5\)
\(\iff x=\sqrt{5}\)
\(g\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\) et \(g'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{2(5-2)}{\sqrt{1}}=6\neq0\) :
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\sqrt{5}\right)=\dfrac{1}{g'\left(\sqrt{5}\right)}=\dfrac{1}{6}\)