Exercice 1 (6 pts)
1. Simplifier : \(A=2\ln\left(e^3\right)+\ln\sqrt{e}-\ln\left(e^2\right)\) et \(B=\ln\left(\sqrt{7}-\sqrt{3}\right)+\ln\left(\sqrt{7}+\sqrt{3}\right)-2\ln2\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln4\) ; b) \(2\ln^2x-3\ln x-2=0\) ; c) \(1-3\ln x>0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(I\) : a) \(f(x)=x\ln x-x\), \(I=]0;+\infty[\) ; b) \(f(x)=\ln\left(x^2+2x+3\right)\), \(I=\mathbb{R}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\), \(I=]0;+\infty[\).
4. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{2x^2+1}{x^2+3}\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+4x)}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-\ln x\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x-\ln x\right)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(x+2)+\ln(x-1)=\ln4\) ; b) \(2\ln^2x-3\ln x-2=0\) ; c) \(1-3\ln x>0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(I\) : a) \(f(x)=x\ln x-x\), \(I=]0;+\infty[\) ; b) \(f(x)=\ln\left(x^2+2x+3\right)\), \(I=\mathbb{R}\) ; c) \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\), \(I=]0;+\infty[\).
4. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{2x^2+1}{x^2+3}\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+4x)}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2-\ln x\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x-\ln x\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) ; \(\ln\left(a^r\right)=r\ln a\) ; \(\ln e=1\) ; pour une équation : domaine d’abord, puis \(\ln a=\ln b\iff a=b\).
1. \(A=2\times3+\dfrac{1}{2}-2\)
\(=\dfrac{9}{2}\)
\(B=\ln\left[\left(\sqrt{7}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\right]-\ln4\)
\(=\ln4-\ln4=0\)
2. a) Domaine : \(x+2>0\) et \(x-1>0\), soit \(x>1\).
\(\ln\left((x+2)(x-1)\right)=\ln4\iff x^2+x-2=4\)
\(\iff x^2+x-6=0\)
\(\iff(x-2)(x+3)=0\)
\(-3\) est rejeté (\(-3<1\)) :
[] \(S=\{2\}\)
b) \(x>0\) ; on pose \(t=\ln x\) : \(2t^2-3t-2=0\), \(\Delta=25\), \(t=2\) ou \(t=-\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left\{e^{-\frac{1}{2}};e^2\right\}\)
c) \(1-3\ln x>0\iff\ln x<\dfrac{1}{3}\)
\(\iff0<x<e^{\frac{1}{3}}\)
[] \(S=\left]0;e^{\frac{1}{3}}\right[\)
3. a) \(f'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1\) :
[] \(f'(x)=\ln x\)
b) \(x^2+2x+3>0\) (\(\Delta=-8<0\)), et \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+3}\)
c) Quotient :
[] \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)
4. a) \(\dfrac{2x^2+1}{x^2+3}\to2\) (termes de plus haut degré) et \(\ln\) est continue en \(2\) :
[] \(\ln2\)
b) On pose \(X=4x\to0\) : \(\dfrac{\ln(1+4x)}{x}=4\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to4\times1\) :
[] \(4\)
c) Forme « \(+\infty-\infty\) » : \(x^2-\ln x=x^2\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{1}{x}\right)\) et \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \(+\infty\)
d) \(x\to0\) et \(-\ln x\to+\infty\) (pas de forme indéterminée) :
[] \(+\infty\)
1. \(A=2\times3+\dfrac{1}{2}-2\)
\(=\dfrac{9}{2}\)
\(B=\ln\left[\left(\sqrt{7}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2\right]-\ln4\)
\(=\ln4-\ln4=0\)
2. a) Domaine : \(x+2>0\) et \(x-1>0\), soit \(x>1\).
\(\ln\left((x+2)(x-1)\right)=\ln4\iff x^2+x-2=4\)
\(\iff x^2+x-6=0\)
\(\iff(x-2)(x+3)=0\)
\(-3\) est rejeté (\(-3<1\)) :
[] \(S=\{2\}\)
b) \(x>0\) ; on pose \(t=\ln x\) : \(2t^2-3t-2=0\), \(\Delta=25\), \(t=2\) ou \(t=-\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\left\{e^{-\frac{1}{2}};e^2\right\}\)
c) \(1-3\ln x>0\iff\ln x<\dfrac{1}{3}\)
\(\iff0<x<e^{\frac{1}{3}}\)
[] \(S=\left]0;e^{\frac{1}{3}}\right[\)
3. a) \(f'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}-1\) :
[] \(f'(x)=\ln x\)
b) \(x^2+2x+3>0\) (\(\Delta=-8<0\)), et \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+3}\)
c) Quotient :
[] \(f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)
4. a) \(\dfrac{2x^2+1}{x^2+3}\to2\) (termes de plus haut degré) et \(\ln\) est continue en \(2\) :
[] \(\ln2\)
b) On pose \(X=4x\to0\) : \(\dfrac{\ln(1+4x)}{x}=4\times\dfrac{\ln(1+X)}{X}\to4\times1\) :
[] \(4\)
c) Forme « \(+\infty-\infty\) » : \(x^2-\ln x=x^2\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\times\dfrac{1}{x}\right)\) et \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\) :
[] \(+\infty\)
d) \(x\to0\) et \(-\ln x\to+\infty\) (pas de forme indéterminée) :
[] \(+\infty\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3}{u_n+2}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \(u_{n+1}-3=\dfrac{u_n-3}{u_n+2}\), puis que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>3\).
2. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n-3)(u_n+1)}{u_n+2}\) ; en déduire la monotonie de \((u_n)\), puis qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{5}\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) Calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer que \(u_{n+1}-3=\dfrac{u_n-3}{u_n+2}\), puis que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>3\).
2. Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-(u_n-3)(u_n+1)}{u_n+2}\) ; en déduire la monotonie de \((u_n)\), puis qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{5}\).
b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
c) Calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(u_{n+1}-3=\dfrac{4u_n+3-3u_n-6}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{u_n-3}{u_n+2}\)
Récurrence : \(u_0=4>3\) ✔ ; si \(u_n>3\), alors \(u_n-3>0\) et \(u_n+2>0\), donc \(u_{n+1}-3>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n+3-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{-\left(u_n^2-2u_n-3\right)}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{-(u_n-3)(u_n+1)}{u_n+2}\)
Comme \(u_n>3\) : \(u_n-3>0\), \(u_n+1>0\) et \(u_n+2>0\), donc \(u_{n+1}-u_n<0\) : \((u_n)\) est décroissante.
Décroissante et minorée par \(3\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(u_{n+1}+1=\dfrac{4u_n+3+u_n+2}{u_n+2}=\dfrac{5(u_n+1)}{u_n+2}\), donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}+1}\)
\(=\dfrac{u_n-3}{5(u_n+1)}\)
\(=\dfrac{1}{5}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{5}\) et \(v_0=\dfrac{4-3}{4+1}=\dfrac{1}{5}\)
b) \(v_n=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\)
\(v_n(u_n+1)=u_n-3\iff u_n(1-v_n)=3+v_n\), et \(v_n\neq1\) :
[] \(u_n=\dfrac{3+v_n}{1-v_n}=\dfrac{3+\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}\)
c) \(-1<\dfrac{1}{5}<1\), donc \(v_n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
\(=\dfrac{u_n-3}{u_n+2}\)
Récurrence : \(u_0=4>3\) ✔ ; si \(u_n>3\), alors \(u_n-3>0\) et \(u_n+2>0\), donc \(u_{n+1}-3>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4u_n+3-u_n^2-2u_n}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{-\left(u_n^2-2u_n-3\right)}{u_n+2}\)
\(=\dfrac{-(u_n-3)(u_n+1)}{u_n+2}\)
Comme \(u_n>3\) : \(u_n-3>0\), \(u_n+1>0\) et \(u_n+2>0\), donc \(u_{n+1}-u_n<0\) : \((u_n)\) est décroissante.
Décroissante et minorée par \(3\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(u_{n+1}+1=\dfrac{4u_n+3+u_n+2}{u_n+2}=\dfrac{5(u_n+1)}{u_n+2}\), donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}+1}\)
\(=\dfrac{u_n-3}{5(u_n+1)}\)
\(=\dfrac{1}{5}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{5}\) et \(v_0=\dfrac{4-3}{4+1}=\dfrac{1}{5}\)
b) \(v_n=\dfrac{1}{5}\left(\dfrac{1}{5}\right)^n=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n+1}\)
\(v_n(u_n+1)=u_n-3\iff u_n(1-v_n)=3+v_n\), et \(v_n\neq1\) :
[] \(u_n=\dfrac{3+v_n}{1-v_n}=\dfrac{3+\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}\)
c) \(-1<\dfrac{1}{5}<1\), donc \(v_n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[0;+\infty[\) par \(f(x)=x+\sqrt{x^2+6x}\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
b) Vérifier que \(f(x)-(2x+3)=\dfrac{-9}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\) ; en déduire que \((\Delta):y=2x+3\) est asymptote à \((C_f)\) en \(+\infty\) et étudier leur position relative.
2. a) Vérifier que \((\forall x>0)\ f(x)=x\left(1+\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\right)\).
b) En déduire que \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; interpréter graphiquement.
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=1+\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+6x}}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(f(2)\), puis \(\left(f^{-1}\right)'(6)\).
c) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
b) Vérifier que \(f(x)-(2x+3)=\dfrac{-9}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\) ; en déduire que \((\Delta):y=2x+3\) est asymptote à \((C_f)\) en \(+\infty\) et étudier leur position relative.
2. a) Vérifier que \((\forall x>0)\ f(x)=x\left(1+\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\right)\).
b) En déduire que \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; interpréter graphiquement.
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=1+\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+6x}}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(f(2)\), puis \(\left(f^{-1}\right)'(6)\).
c) Déterminer \(f^{-1}(x)\) pour tout \(x\in J\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(x\to+\infty\) et \(\sqrt{x^2+6x}\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
b) \(f(x)-(2x+3)=\sqrt{x^2+6x}-(x+3)\)
\(=\dfrac{(x^2+6x)-(x+3)^2}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\)
\(=\dfrac{-9}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\)
Le dénominateur tend vers \(+\infty\) : la différence tend vers \(0\) ; elle est négative :
[] \((\Delta):y=2x+3\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et \((C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\)
2. a) Pour \(x>0\) : \(f(x)=x+\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{6}{x}\right)}\)
\(=x+x\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\)
\(=x\left(1+\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\right)\)
b) \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1+\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\)
\(\to+\infty\)
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car \(x^2+6x>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=1+\dfrac{2x+6}{2\sqrt{x^2+6x}}\)
\(=1+\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+6x}}>0\)
4. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) : elle admet une réciproque définie sur \(J=f(I)=\left[f(0);\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[\) :
[] \(J=[0;+\infty[\)
b) \(f(2)=2+\sqrt{16}=6\) et \(f'(2)=1+\dfrac{5}{4}=\dfrac{9}{4}\neq0\) :
[] \(\left(f^{-1}\right)'(6)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{4}{9}\)
c) Pour \(x\in J\) et \(y\in I\) : \(f(y)=x\iff\sqrt{y^2+6y}=x-y\) (avec \(x-y\geq0\)) :
\(y^2+6y=x^2-2xy+y^2\)
\(\iff y(2x+6)=x^2\)
\(\iff y=\dfrac{x^2}{2x+6}\)
(et \(x-\dfrac{x^2}{2x+6}=\dfrac{x^2+6x}{2x+6}\geq0\) ✔) :
[] \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^2}{2x+6}\)
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
b) \(f(x)-(2x+3)=\sqrt{x^2+6x}-(x+3)\)
\(=\dfrac{(x^2+6x)-(x+3)^2}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\)
\(=\dfrac{-9}{\sqrt{x^2+6x}+x+3}\)
Le dénominateur tend vers \(+\infty\) : la différence tend vers \(0\) ; elle est négative :
[] \((\Delta):y=2x+3\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et \((C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\)
2. a) Pour \(x>0\) : \(f(x)=x+\sqrt{x^2\left(1+\dfrac{6}{x}\right)}\)
\(=x+x\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\)
\(=x\left(1+\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\right)\)
b) \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=1+\sqrt{1+\dfrac{6}{x}}\)
\(\to+\infty\)
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car \(x^2+6x>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=1+\dfrac{2x+6}{2\sqrt{x^2+6x}}\)
\(=1+\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+6x}}>0\)
4. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) : elle admet une réciproque définie sur \(J=f(I)=\left[f(0);\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\right[\) :
[] \(J=[0;+\infty[\)
b) \(f(2)=2+\sqrt{16}=6\) et \(f'(2)=1+\dfrac{5}{4}=\dfrac{9}{4}\neq0\) :
[] \(\left(f^{-1}\right)'(6)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{4}{9}\)
c) Pour \(x\in J\) et \(y\in I\) : \(f(y)=x\iff\sqrt{y^2+6y}=x-y\) (avec \(x-y\geq0\)) :
\(y^2+6y=x^2-2xy+y^2\)
\(\iff y(2x+6)=x^2\)
\(\iff y=\dfrac{x^2}{2x+6}\)
(et \(x-\dfrac{x^2}{2x+6}=\dfrac{x^2+6x}{2x+6}\geq0\) ✔) :
[] \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^2}{2x+6}\)