Exercice 1 (6 pts)
1. Simplifier : \(A=\ln\left(e\sqrt{e}\right)-\ln\left(\dfrac{1}{e^2}\right)\) ; \(B=\ln12-2\ln2-\ln3\) ; \(C=\ln\left(\sqrt{5}+2\right)+\ln\left(\sqrt{5}-2\right)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(2x-1)=\ln(x+3)\) ; b) \(\ln^2x+\ln x-6=0\) ; c) \(\ln(x-1)\leq\ln2\).
3. Calculer \(f'(x)\) : a) \(f(x)=x^2\ln x\) sur \(]0;+\infty[\) ; b) \(f(x)=\ln(\ln x)\) sur \(]1;+\infty[\) ; c) \(f(x)=\dfrac{1}{\ln x}\) sur \(]1;+\infty[\).
4. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x\ln x+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\ln(x+1)-\ln x\right)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(2x-1)=\ln(x+3)\) ; b) \(\ln^2x+\ln x-6=0\) ; c) \(\ln(x-1)\leq\ln2\).
3. Calculer \(f'(x)\) : a) \(f(x)=x^2\ln x\) sur \(]0;+\infty[\) ; b) \(f(x)=\ln(\ln x)\) sur \(]1;+\infty[\) ; c) \(f(x)=\dfrac{1}{\ln x}\) sur \(]1;+\infty[\).
4. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x\ln x+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\ln(x+1)-\ln x\right)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) ; \(\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b\) ; \(\ln\left(a^r\right)=r\ln a\) ; équation : domaine d’abord.
1. \(A=\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{7}{2}\) ; \(B=\ln\dfrac{12}{4\times3}=\ln1=0\) ; \(C=\ln(5-4)=\ln1=0\).
2. a) Domaine : \(x>\dfrac{1}{2}\) ; \(2x-1=x+3\iff x=4\) et \(4>\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\{4\}\)
b) \(t=\ln x\) : \(t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0\), \(t=2\) ou \(t=-3\) :
[] \(S=\left\{e^{-3};e^2\right\}\)
c) Domaine : \(x>1\) ; \(\ln\) croissante : \(x-1\leq2\iff x\leq3\) :
[] \(S=]1;3]\)
3. a)
[] \(f'(x)=2x\ln x+x^2\times\dfrac{1}{x}=2x\ln x+x\)
b) \(u=\ln x>0\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{1}{x\ln x}\)
c) \(\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\) :
[] \(f'(x)=-\dfrac{1}{x\ln^2x}\)
4. a) \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\) (limite usuelle) :
[] \(1\)
b) \(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\dfrac{2\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) ; avec \(X=\sqrt{x}\to+\infty\), \(\dfrac{\ln X}{X}\to0\) :
[] \(0\)
c) \(\ln(x+1)-\ln x=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\to\ln1\) :
[] \(0\)
1. \(A=\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{7}{2}\) ; \(B=\ln\dfrac{12}{4\times3}=\ln1=0\) ; \(C=\ln(5-4)=\ln1=0\).
2. a) Domaine : \(x>\dfrac{1}{2}\) ; \(2x-1=x+3\iff x=4\) et \(4>\dfrac{1}{2}\) :
[] \(S=\{4\}\)
b) \(t=\ln x\) : \(t^2+t-6=(t-2)(t+3)=0\), \(t=2\) ou \(t=-3\) :
[] \(S=\left\{e^{-3};e^2\right\}\)
c) Domaine : \(x>1\) ; \(\ln\) croissante : \(x-1\leq2\iff x\leq3\) :
[] \(S=]1;3]\)
3. a)
[] \(f'(x)=2x\ln x+x^2\times\dfrac{1}{x}=2x\ln x+x\)
b) \(u=\ln x>0\), \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) :
[] \(f'(x)=\dfrac{1}{x\ln x}\)
c) \(\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\) :
[] \(f'(x)=-\dfrac{1}{x\ln^2x}\)
4. a) \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\) (limite usuelle) :
[] \(1\)
b) \(\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}=\dfrac{2\ln\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) ; avec \(X=\sqrt{x}\to+\infty\), \(\dfrac{\ln X}{X}\to0\) :
[] \(0\)
c) \(\ln(x+1)-\ln x=\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\to\ln1\) :
[] \(0\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \(u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\), puis que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1\).
2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{5}\).
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
1. Montrer que \(u_{n+1}-1=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\), puis que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1\).
2. Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\).
a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{5}\).
b) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n+2-u_n-4}{u_n+4}\)
\(=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\)
Récurrence : \(u_0=3>1\) ✔ ; si \(u_n>1\) : \(u_n-1>0\) et \(u_n+4>0\), donc \(u_{n+1}-1>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-4u_n}{u_n+4}\)
\(=\dfrac{-(u_n-1)(u_n+2)}{u_n+4}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(u_{n+1}+2=\dfrac{3u_n+2+2u_n+8}{u_n+4}=\dfrac{5(u_n+2)}{u_n+4}\), donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{5(u_n+2)}\)
\(=\dfrac{2}{5}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{5}\), \(v_0=\dfrac{2}{5}\)
b) \(v_n=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}\) ; \(v_n(u_n+2)=u_n-1\iff u_n(1-v_n)=1+2v_n\) :
[] \(u_n=\dfrac{1+2\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\)
\(=\dfrac{2(u_n-1)}{u_n+4}\)
Récurrence : \(u_0=3>1\) ✔ ; si \(u_n>1\) : \(u_n-1>0\) et \(u_n+4>0\), donc \(u_{n+1}-1>0\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1\)
2. \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-4u_n}{u_n+4}\)
\(=\dfrac{-(u_n-1)(u_n+2)}{u_n+4}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. a) \(u_{n+1}+2=\dfrac{3u_n+2+2u_n+8}{u_n+4}=\dfrac{5(u_n+2)}{u_n+4}\), donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{5(u_n+2)}\)
\(=\dfrac{2}{5}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{2}{5}\), \(v_0=\dfrac{2}{5}\)
b) \(v_n=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n+1}\) ; \(v_n(u_n+2)=u_n-1\iff u_n(1-v_n)=1+2v_n\) :
[] \(u_n=\dfrac{1+2\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}{1-\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[2;+\infty[\) par \(f(x)=2x+(x-2)\sqrt{x-2}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\).
3. Montrer que \((\forall x>2)\ f'(x)=2+\dfrac{3}{2}\sqrt{x-2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Vérifier que \(f(3)=7\), puis calculer \(\left(f^{-1}\right)'(7)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) ; interpréter.
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\).
3. Montrer que \((\forall x>2)\ f'(x)=2+\dfrac{3}{2}\sqrt{x-2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Vérifier que \(f(3)=7\), puis calculer \(\left(f^{-1}\right)'(7)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}{x}=2+\dfrac{x-2}{x}\sqrt{x-2}\to+\infty\) :
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
2. \(f(2)=4\) ; \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{2(x-2)+(x-2)\sqrt{x-2}}{x-2}\)
\(=2+\sqrt{x-2}\to2\)
[] \(f\) est dérivable à droite en \(2\) et \(f'_d(2)=2\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) car \(x-2>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]2;+\infty[\) :
\(f'(x)=2+\sqrt{x-2}+(x-2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}\)
\(=2+\sqrt{x-2}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{2}\)
\(=2+\dfrac{3}{2}\sqrt{x-2}>0\)
4. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) : \(J=f(I)=[4;+\infty[\).
b) \(f(3)=6+1\times1=7\) et \(f'(3)=2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}\neq0\) :
[] \(\left(f^{-1}\right)'(7)=\dfrac{1}{f'(3)}=\dfrac{2}{7}\)
[] branche parabolique de direction l’axe des ordonnées
2. \(f(2)=4\) ; \(\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{2(x-2)+(x-2)\sqrt{x-2}}{x-2}\)
\(=2+\sqrt{x-2}\to2\)
[] \(f\) est dérivable à droite en \(2\) et \(f'_d(2)=2\)
3. Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]2;+\infty[\) car \(x-2>0\) sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]2;+\infty[\) :
\(f'(x)=2+\sqrt{x-2}+(x-2)\times\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}\)
\(=2+\sqrt{x-2}+\dfrac{\sqrt{x-2}}{2}\)
\(=2+\dfrac{3}{2}\sqrt{x-2}>0\)
4. a) \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\) : \(J=f(I)=[4;+\infty[\).
b) \(f(3)=6+1\times1=7\) et \(f'(3)=2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}\neq0\) :
[] \(\left(f^{-1}\right)'(7)=\dfrac{1}{f'(3)}=\dfrac{2}{7}\)