Exercice 1 (12 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x}{2}+\sqrt{x}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
b) Étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2. a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) ; interpréter graphiquement.
b) Calculer \(f'(x)\) pour \(x>0\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f''(x)=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}\) ; en déduire la concavité de \((C_f)\).
4. a) Montrer que \(f(x)-x=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta):y=x\).
c) Tracer \((\Delta)\) et \((C_f)\).
5. On considère la suite \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1\leq u_n\leq4\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
c) En déduire que \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite.
1. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
b) Étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
2. a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) ; interpréter graphiquement.
b) Calculer \(f'(x)\) pour \(x>0\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Montrer que \((\forall x>0)\ f''(x)=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}\) ; en déduire la concavité de \((C_f)\).
4. a) Montrer que \(f(x)-x=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)\).
b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta):y=x\).
c) Tracer \((\Delta)\) et \((C_f)\).
5. On considère la suite \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
a) Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1\leq u_n\leq4\).
b) Montrer que \((u_n)\) est croissante.
c) En déduire que \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(\dfrac{x}{2}\to+\infty\) et \(\sqrt{x}\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
b) 💡 Si \(\dfrac{f(x)}{x}\to a\neq0\) et \(f(x)-ax\to\pm\infty\) : branche parabolique de direction \(y=ax\).
\(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to\dfrac{1}{2}\)
\(f(x)-\dfrac{1}{2}x=\sqrt{x}\to+\infty\)
[] branche parabolique de direction la droite \(y=\dfrac{1}{2}x\)
2. a) \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\to+\infty\)
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est une somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0\)
3. \(f''(x)=\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}\)
\(=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}<0\)
[] \((C_f)\) est concave sur \(]0;+\infty[\)
4. a) \(f(x)-x=\sqrt{x}-\dfrac{x}{2}\)
\(=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)\)
b) \(\sqrt{x}\geq0\) et \(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\geq0\iff x\leq4\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \([0;4]\), au-dessous sur \(]4;+\infty[\) ; ils se coupent en \(O\) et \(A(4;4)\)
5. a) Récurrence : \(u_0=1\in[1;4]\) ✔. Si \(1\leq u_n\leq4\) : \(f\) est croissante, donc \(f(1)\leq f(u_n)\leq f(4)\), soit \(\dfrac{3}{2}\leq u_{n+1}\leq4\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1\leq u_n\leq4\)
b) \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\geq0\) car \(u_n\in[0;4]\) (question 4.b) :
[] \((u_n)\) est croissante
c) Croissante et majorée par \(4\) : convergente. \(f\) est continue sur \([1;4]\) et \(f([1;4])=\left[\dfrac{3}{2};4\right]\subset[1;4]\) : la limite \(\ell\in[1;4]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\).
\(f(\ell)=\ell\iff\sqrt{\ell}\left(1-\dfrac{\sqrt{\ell}}{2}\right)=0\iff\ell=0\) ou \(\ell=4\) ; or \(\ell\in[1;4]\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
b) 💡 Si \(\dfrac{f(x)}{x}\to a\neq0\) et \(f(x)-ax\to\pm\infty\) : branche parabolique de direction \(y=ax\).
\(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to\dfrac{1}{2}\)
\(f(x)-\dfrac{1}{2}x=\sqrt{x}\to+\infty\)
[] branche parabolique de direction la droite \(y=\dfrac{1}{2}x\)
2. a) \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\to+\infty\)
[] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\)
b) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) car c’est une somme de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout \(x\in]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}>0\)
3. \(f''(x)=\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}\)
\(=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}<0\)
[] \((C_f)\) est concave sur \(]0;+\infty[\)
4. a) \(f(x)-x=\sqrt{x}-\dfrac{x}{2}\)
\(=\sqrt{x}\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\right)\)
b) \(\sqrt{x}\geq0\) et \(1-\dfrac{\sqrt{x}}{2}\geq0\iff x\leq4\) :
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \([0;4]\), au-dessous sur \(]4;+\infty[\) ; ils se coupent en \(O\) et \(A(4;4)\)
5. a) Récurrence : \(u_0=1\in[1;4]\) ✔. Si \(1\leq u_n\leq4\) : \(f\) est croissante, donc \(f(1)\leq f(u_n)\leq f(4)\), soit \(\dfrac{3}{2}\leq u_{n+1}\leq4\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ 1\leq u_n\leq4\)
b) \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\geq0\) car \(u_n\in[0;4]\) (question 4.b) :
[] \((u_n)\) est croissante
c) Croissante et majorée par \(4\) : convergente. \(f\) est continue sur \([1;4]\) et \(f([1;4])=\left[\dfrac{3}{2};4\right]\subset[1;4]\) : la limite \(\ell\in[1;4]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\).
\(f(\ell)=\ell\iff\sqrt{\ell}\left(1-\dfrac{\sqrt{\ell}}{2}\right)=0\iff\ell=0\) ou \(\ell=4\) ; or \(\ell\in[1;4]\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4\)
Exercice 2 (8 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1200\) et \(u_{n+1}=\dfrac{999}{1000}u_n+1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=u_n-1000\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{999}{1000}\), puis que \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\), et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<1100\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\).
2. Montrer que \((u_n)\) est décroissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=u_n-1000\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{999}{1000}\), puis que \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\), et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Déterminer le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n<1100\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Récurrence : \(u_0=1200>1000\) ✔ ; si \(u_n>1000\), alors \(\dfrac{999}{1000}u_n>999\), donc \(u_{n+1}>1000\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\)
2. \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{1000}u_n\)
\(=\dfrac{1000-u_n}{1000}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1000\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(v_{n+1}=\dfrac{999}{1000}u_n+1-1000\)
\(=\dfrac{999}{1000}(u_n-1000)\)
\(=\dfrac{999}{1000}v_n\)
\(v_0=200\), donc \(v_n=200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\) :
[] \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\)
\(0<\dfrac{999}{1000}<1\) : \(\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1000\)
4. 💡 On isole la puissance, puis on applique \(\ln\) (strictement croissante) ; attention : \(\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<0\) change le sens de l’inégalité.
\(u_n<1100\iff200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<100\)
\(\iff\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<\dfrac{1}{2}\)
\(\iff n\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<-\ln2\)
\(\iff n>\dfrac{\ln2}{\ln1000-\ln999}\approx692{,}8\)
[] le plus petit entier est \(n=693\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n>1000\)
2. \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{1000}u_n\)
\(=\dfrac{1000-u_n}{1000}<0\)
\((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1000\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(v_{n+1}=\dfrac{999}{1000}u_n+1-1000\)
\(=\dfrac{999}{1000}(u_n-1000)\)
\(=\dfrac{999}{1000}v_n\)
\(v_0=200\), donc \(v_n=200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\) :
[] \(u_n=1000+200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\)
\(0<\dfrac{999}{1000}<1\) : \(\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1000\)
4. 💡 On isole la puissance, puis on applique \(\ln\) (strictement croissante) ; attention : \(\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<0\) change le sens de l’inégalité.
\(u_n<1100\iff200\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<100\)
\(\iff\left(\dfrac{999}{1000}\right)^n<\dfrac{1}{2}\)
\(\iff n\ln\left(\dfrac{999}{1000}\right)<-\ln2\)
\(\iff n>\dfrac{\ln2}{\ln1000-\ln999}\approx692{,}8\)
[] le plus petit entier est \(n=693\)