Exercice 1 (6 pts)
1. Simplifier \(A=\ln\left(e^2\right)+2\ln(2e)+\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(3x)=\ln x+1\) ; b) \((\ln x)(1-\ln x)>0\) ; c) \(\ln^2x-2\ln x-3=0\) ; d) \(1+3\ln x\geq0\).
3. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x+\ln^2x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\ln x}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left(\dfrac{2+x^2}{1+x^2}\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln^2x\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(\ln(3x)=\ln x+1\) ; b) \((\ln x)(1-\ln x)>0\) ; c) \(\ln^2x-2\ln x-3=0\) ; d) \(1+3\ln x\geq0\).
3. Calculer : a) \(\lim\limits_{x\to0^+}\left(x+\ln^2x\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\ln x}{x}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\ln\left(\dfrac{2+x^2}{1+x^2}\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln^2x\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(A=2+2\ln2+2\ln e-2\ln2\)
\(=4\)
2. a) \(x>0\) : \(\ln3+\ln x=\ln x+1\iff\ln3=1\), ce qui est faux (\(3\neq e\)) :
[] \(S=\emptyset\)
b) \(t=\ln x\) : \(t(1-t)>0\iff0<t<1\), soit \(1<x<e\) :
[] \(S=]1;e[\)
c) \(t^2-2t-3=(t-3)(t+1)=0\) : \(t=3\) ou \(t=-1\) :
[] \(S=\left\{e^{-1};e^3\right\}\)
d) \(\ln x\geq-\dfrac{1}{3}\iff x\geq e^{-\frac{1}{3}}\) :
[] \(S=\left[e^{-\frac{1}{3}};+\infty\right[\)
3. a) \(\ln^2x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{x+\ln x}{x}=1+\dfrac{\ln x}{x}\to1+0\) :
[] \(1\)
c) \(\dfrac{2+x^2}{1+x^2}\to1\) et \(\ln1=0\) :
[] \(0\)
d) \(x\ln^2x=\left(\sqrt{x}\ln x\right)^2=\left(2\sqrt{x}\ln\sqrt{x}\right)^2\) et \(X\ln X\to0\) quand \(X=\sqrt{x}\to0^+\) :
[] \(0\)
\(=4\)
2. a) \(x>0\) : \(\ln3+\ln x=\ln x+1\iff\ln3=1\), ce qui est faux (\(3\neq e\)) :
[] \(S=\emptyset\)
b) \(t=\ln x\) : \(t(1-t)>0\iff0<t<1\), soit \(1<x<e\) :
[] \(S=]1;e[\)
c) \(t^2-2t-3=(t-3)(t+1)=0\) : \(t=3\) ou \(t=-1\) :
[] \(S=\left\{e^{-1};e^3\right\}\)
d) \(\ln x\geq-\dfrac{1}{3}\iff x\geq e^{-\frac{1}{3}}\) :
[] \(S=\left[e^{-\frac{1}{3}};+\infty\right[\)
3. a) \(\ln^2x\to+\infty\) :
[] \(+\infty\)
b) \(\dfrac{x+\ln x}{x}=1+\dfrac{\ln x}{x}\to1+0\) :
[] \(1\)
c) \(\dfrac{2+x^2}{1+x^2}\to1\) et \(\ln1=0\) :
[] \(0\)
d) \(x\ln^2x=\left(\sqrt{x}\ln x\right)^2=\left(2\sqrt{x}\ln\sqrt{x}\right)^2\) et \(X\ln X\to0\) quand \(X=\sqrt{x}\to0^+\) :
[] \(0\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+n\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. On pose \(v_n=u_n-2n+4\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
3. En déduire que \(u_n=5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+2n-4\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. On pose \(v_n=u_n-2n+4\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\).
3. En déduire que \(u_n=5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+2n-4\), puis calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(u_1=\dfrac{1}{2}+0=\dfrac{1}{2}\) ; \(u_2=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}\) ; \(u_3=\dfrac{5}{8}+2=\dfrac{21}{8}\).
2. \(v_{n+1}=u_{n+1}-2(n+1)+4\)
\(=\dfrac{1}{2}u_n+n-2n+2\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2n+4\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(v_0=1+4=5\)
3. \(v_n=5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n=v_n+2n-4\) :
[] \(u_n=5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+2n-4\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to0\) et \(2n-4\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)
4. \(S_n=\sum_{k=0}^{n}5\left(\dfrac{1}{2}\right)^k+\sum_{k=0}^{n}(2k-4)\)
\(=5\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}+n(n+1)-4(n+1)\)
[] \(S_n=10\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)+(n+1)(n-4)\)
2. \(v_{n+1}=u_{n+1}-2(n+1)+4\)
\(=\dfrac{1}{2}u_n+n-2n+2\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2n+4\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}v_n\)
[] \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{2}\), \(v_0=1+4=5\)
3. \(v_n=5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) et \(u_n=v_n+2n-4\) :
[] \(u_n=5\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+2n-4\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to0\) et \(2n-4\to+\infty\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)
4. \(S_n=\sum_{k=0}^{n}5\left(\dfrac{1}{2}\right)^k+\sum_{k=0}^{n}(2k-4)\)
\(=5\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}+n(n+1)-4(n+1)\)
[] \(S_n=10\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)+(n+1)(n-4)\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
2. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Étudier le signe de \(f(x)-1\) ; en déduire la position de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y=1\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([1;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(g\left(\sqrt{3}\right)\) et \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
2. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Étudier le signe de \(f(x)-1\) ; en déduire la position de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y=1\).
4. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([1;+\infty[\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(g\left(\sqrt{3}\right)\) et \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. 💡 \(\sqrt{x^2}=|x|\) : \(|x|=x\) en \(+\infty\) et \(|x|=-x\) en \(-\infty\).
\(f(x)=\dfrac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\)
Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1\) :
[] asymptotes horizontales \(y=1\) en \(+\infty\) et \(y=-1\) en \(-\infty\)
2. \(f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-(x+1)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2+1-x^2-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(f'(x)\) a le signe de \(1-x\) ; \(f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) (maximum).
3. \(f(x)-1=\dfrac{x+1-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\). Si \(x+1\leq0\) : négatif. Si \(x+1>0\) : signe de \((x+1)^2-\left(x^2+1\right)=2x\).
[] \((C_f)\) est au-dessus de \(y=1\) sur \(]0;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;0[\) ; ils se coupent au point \((0;1)\)
4. a) \(g\) est continue et strictement décroissante sur \([1;+\infty[\) : \(J=\left]\lim\limits_{x\to+\infty}g(x);g(1)\right]\) :
[] \(J=\left]1;\sqrt{2}\right]\)
b) \(g\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\) et \(g'\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{1-\sqrt{3}}{4\times2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{8}\neq0\) :
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{8}{1-\sqrt{3}}=-4\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(f(x)=\dfrac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\)
Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-1\) :
[] asymptotes horizontales \(y=1\) en \(+\infty\) et \(y=-1\) en \(-\infty\)
2. \(f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-(x+1)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}\)
\(=\dfrac{x^2+1-x^2-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(f'(x)\) a le signe de \(1-x\) ; \(f(1)=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\) (maximum).
3. \(f(x)-1=\dfrac{x+1-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\). Si \(x+1\leq0\) : négatif. Si \(x+1>0\) : signe de \((x+1)^2-\left(x^2+1\right)=2x\).
[] \((C_f)\) est au-dessus de \(y=1\) sur \(]0;+\infty[\), au-dessous sur \(]-\infty;0[\) ; ils se coupent au point \((0;1)\)
4. a) \(g\) est continue et strictement décroissante sur \([1;+\infty[\) : \(J=\left]\lim\limits_{x\to+\infty}g(x);g(1)\right]\) :
[] \(J=\left]1;\sqrt{2}\right]\)
b) \(g\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\) et \(g'\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{1-\sqrt{3}}{4\times2}=\dfrac{1-\sqrt{3}}{8}\neq0\) :
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{8}{1-\sqrt{3}}=-4\left(1+\sqrt{3}\right)\)