Exercice 1 (6 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\).
1. Montrer que \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\).
2. Montrer que \(f\) est impaire ; interpréter graphiquement.
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
4. Montrer que \((\forall x>1)\ f'(x)=\dfrac{-2}{x^2-1}\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
5. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1;+\infty[\), puis déterminer \(\alpha\).
1. Montrer que \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\).
2. Montrer que \(f\) est impaire ; interpréter graphiquement.
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) ; interpréter graphiquement.
4. Montrer que \((\forall x>1)\ f'(x)=\dfrac{-2}{x^2-1}\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(]1;+\infty[\).
5. Montrer que l’équation \(f(x)=1\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]1;+\infty[\), puis déterminer \(\alpha\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(f(x)\) existe si \(x\neq1\) et \(\dfrac{x+1}{x-1}>0\) :
[] \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\)
2. Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et :
\(f(-x)=\ln\left(\dfrac{-x+1}{-x-1}\right)\)
\(=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\)
\(=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
3. En \(+\infty\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to1\) et \(\ln1=0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale.
En \(1^+\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty\) (« \(\dfrac{2}{0^+}\) ») : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
4. Sur \(]1;+\infty[\) : \(x+1>0\) et \(x-1>0\), donc \(f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)\) est dérivable et :
\(f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)
\(=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x^2-1}\)
\(=\dfrac{-2}{x^2-1}\)
\(x^2-1>0\) sur \(]1;+\infty[\) : \(f'(x)<0\), \(f\) est strictement décroissante.
5. \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\), \(f(]1;+\infty[)=]0;+\infty[\) et \(1\in]0;+\infty[\) : la solution existe et elle est unique.
\(f(x)=1\iff\dfrac{x+1}{x-1}=e\)
\(\iff x+1=ex-e\)
\(\iff x=\dfrac{e+1}{e-1}\)
[] \(\alpha=\dfrac{e+1}{e-1}\)
[] \(D_f=]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\)
2. Pour \(x\in D_f\), \(-x\in D_f\) et :
\(f(-x)=\ln\left(\dfrac{-x+1}{-x-1}\right)\)
\(=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)\)
\(=-f(x)\)
[] \(f\) est impaire : \(O\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
3. En \(+\infty\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to1\) et \(\ln1=0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale.
En \(1^+\) : \(\dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty\) (« \(\dfrac{2}{0^+}\) ») : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
4. Sur \(]1;+\infty[\) : \(x+1>0\) et \(x-1>0\), donc \(f(x)=\ln(x+1)-\ln(x-1)\) est dérivable et :
\(f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)
\(=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x^2-1}\)
\(=\dfrac{-2}{x^2-1}\)
\(x^2-1>0\) sur \(]1;+\infty[\) : \(f'(x)<0\), \(f\) est strictement décroissante.
5. \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]1;+\infty[\), \(f(]1;+\infty[)=]0;+\infty[\) et \(1\in]0;+\infty[\) : la solution existe et elle est unique.
\(f(x)=1\iff\dfrac{x+1}{x-1}=e\)
\(\iff x+1=ex-e\)
\(\iff x=\dfrac{e+1}{e-1}\)
[] \(\alpha=\dfrac{e+1}{e-1}\)
Exercice 2 (6 pts)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=u_n-3\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
1. Montrer que \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\).
2. Montrer que \((u_n)\) est croissante ; en déduire qu’elle est convergente.
3. On pose \(v_n=u_n-3\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et calculer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
4. Calculer \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) en fonction de \(n\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Récurrence : \(u_0=2<3\) ✔ ; si \(u_n<3\), alors \(\dfrac{1}{3}u_n<1\), donc \(u_{n+1}<3\) ✔ :
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=2-\dfrac{2}{3}u_n\)
\(=\dfrac{2}{3}(3-u_n)>0\)
\((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(v_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2-3\)
\(=\dfrac{1}{3}(u_n-3)\)
\(=\dfrac{1}{3}v_n\)
\((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\), \(v_0=-1\) : \(v_n=-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
\(u_n=3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\) et \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
4. \(S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(3+v_k\right)\)
\(=3(n+1)+v_0\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}\)
\(=3(n+1)-\dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\)
[] \(S_n=3(n+1)-\dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\)
[] \((\forall n\in\mathbb{N})\ u_n<3\)
2. \(u_{n+1}-u_n=2-\dfrac{2}{3}u_n\)
\(=\dfrac{2}{3}(3-u_n)>0\)
\((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\) :
[] \((u_n)\) est convergente
3. \(v_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2-3\)
\(=\dfrac{1}{3}(u_n-3)\)
\(=\dfrac{1}{3}v_n\)
\((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\), \(v_0=-1\) : \(v_n=-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
\(u_n=3-\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\) et \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\to0\) :
[] \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=3\)
4. \(S_n=\sum_{k=0}^{n}\left(3+v_k\right)\)
\(=3(n+1)+v_0\times\dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}\)
\(=3(n+1)-\dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\)
[] \(S_n=3(n+1)-\dfrac{3}{2}\left(1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\)
Exercice 3 (8 pts)
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sqrt{x^2+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\).
1. a) Vérifier que \(f\) est paire.
b) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=0\) ; interpréter graphiquement.
2. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{x\left(x^2-8\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\).
3. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(g(1)\), puis \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\right)\).
1. a) Vérifier que \(f\) est paire.
b) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=0\) ; interpréter graphiquement.
2. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{x\left(x^2-8\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0;+\infty[\).
3. Soit \(g\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\).
a) Montrer que \(g\) admet une fonction réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
b) Calculer \(g(1)\), puis \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\right)\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
1. a) \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\) et \((-x)^2=x^2\), donc \(f(-x)=f(x)\) :
[] \(f\) est paire
b) \(\sqrt{x^2+1}\to+\infty\) et \(\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
\(f(x)-x=\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}+\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\to0\)
[] la droite \(y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\)
2. a) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(x\mapsto\sqrt{x^2+1}\) est dérivable et strictement positive. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{9x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{x\left(x^2+1\right)-9x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{x\left(x^2-8\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
b) Sur \([0;+\infty[\), \(f'(x)\) a le signe de \(x^2-8\), qui s’annule en \(2\sqrt{2}\) ; \(f(0)=1+9=10\) et \(f\left(2\sqrt{2}\right)=3+3=6\).
3. a) \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\) : \(J=\left[g\left(2\sqrt{2}\right);g(0)\right]\) :
[] \(J=[6;10]\)
b) \(g(1)=\sqrt{2}+\dfrac{9}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{11}{\sqrt{2}}=\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\)
\(g'(1)=\dfrac{1\times(1-8)}{2\sqrt{2}}\)
\(=-\dfrac{7}{2\sqrt{2}}\neq0\)
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{g'(1)}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\)
[] \(f\) est paire
b) \(\sqrt{x^2+1}\to+\infty\) et \(\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\to0\) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
\(f(x)-x=\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)+\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}+\dfrac{9}{\sqrt{x^2+1}}\to0\)
[] la droite \(y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\)
2. a) Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car \(x\mapsto\sqrt{x^2+1}\) est dérivable et strictement positive. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-\dfrac{9x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{x\left(x^2+1\right)-9x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
\(=\dfrac{x\left(x^2-8\right)}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)
b) Sur \([0;+\infty[\), \(f'(x)\) a le signe de \(x^2-8\), qui s’annule en \(2\sqrt{2}\) ; \(f(0)=1+9=10\) et \(f\left(2\sqrt{2}\right)=3+3=6\).
3. a) \(g\) est continue et strictement décroissante sur \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\) : \(J=\left[g\left(2\sqrt{2}\right);g(0)\right]\) :
[] \(J=[6;10]\)
b) \(g(1)=\sqrt{2}+\dfrac{9}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{11}{\sqrt{2}}=\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\)
\(g'(1)=\dfrac{1\times(1-8)}{2\sqrt{2}}\)
\(=-\dfrac{7}{2\sqrt{2}}\neq0\)
[] \(\left(g^{-1}\right)'\left(\dfrac{11\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{1}{g'(1)}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{7}\)