Exercice 1 (7 pts)
Dans un repère de l’espace, on considère la droite \((D_1)\) passant par \(A(1;2;0)\) et dirigée par \(\vec{u}(1;-1;2)\), et la droite \((D_2)\) passant par \(B(0;0;2)\) et dirigée par \(\vec{v}(2;1;0)\).
1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites.
2. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(K\).
3. Vérifier que \(-2x+4y+3z-6=0\) est une équation du plan \((P)\) contenant \((D_1)\) et \((D_2)\).
4. Le point \(E(1;1;1)\) appartient-il à \((P)\) ?
1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites.
2. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(K\).
3. Vérifier que \(-2x+4y+3z-6=0\) est une équation du plan \((P)\) contenant \((D_1)\) et \((D_2)\).
4. Le point \(E(1;1;1)\) appartient-il à \((P)\) ?
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \((D_1):\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=2t\end{cases}\) et \((D_2):\begin{cases}x=2s\\y=s\\z=2\end{cases}\) \((t,s\in\mathbb{R})\).
2. \(2t=2\) donne \(t=1\) ; \(2-t=s\) donne \(s=1\) ; vérification : \(1+t=2=2s\) ✔ :
[] sécantes en \(K(2;1;2)\)
3. \(A\) : \(-2+8+0-6=0\) ✔ ; \(B\) : \(0+0+6-6=0\) ✔ ; \(K\) : \(-4+4+6-6=0\) ✔ : \(A\), \(B\), \(K\) non alignés appartiennent au plan des deux droites ✔.
4. \(-2+4+3-6=-1\neq0\) :
[] \(E\notin(P)\)
2. \(2t=2\) donne \(t=1\) ; \(2-t=s\) donne \(s=1\) ; vérification : \(1+t=2=2s\) ✔ :
[] sécantes en \(K(2;1;2)\)
3. \(A\) : \(-2+8+0-6=0\) ✔ ; \(B\) : \(0+0+6-6=0\) ✔ ; \(K\) : \(-4+4+6-6=0\) ✔ : \(A\), \(B\), \(K\) non alignés appartiennent au plan des deux droites ✔.
4. \(-2+4+3-6=-1\neq0\) :
[] \(E\notin(P)\)
Exercice 2 (13 pts)
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{x+1}\) définie sur \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
1. a) Vérifier que \(f(x)=x+1-\dfrac{4}{x+1}\).
b) Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
c) Montrer que \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique et étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((\Delta)\).
2. Montrer que \(f'(x)=1+\dfrac{4}{(x+1)^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Montrer que \(\Omega(-1;0)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
4. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec l’axe des abscisses, puis tracer \((C_f)\).
1. a) Vérifier que \(f(x)=x+1-\dfrac{4}{x+1}\).
b) Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
c) Montrer que \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique et étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((\Delta)\).
2. Montrer que \(f'(x)=1+\dfrac{4}{(x+1)^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. Montrer que \(\Omega(-1;0)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
4. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec l’axe des abscisses, puis tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. a) \(x+1-\dfrac{4}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2-4}{x+1}=\dfrac{x^2+2x-3}{x+1}\) ✔.
b) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\) ; \(-\dfrac{4}{x+1}\to-\infty\) en \(-1^+\) et \(+\infty\) en \(-1^-\) : \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\) (asymptote verticale \(x=-1\)).
c) \(f(x)-(x+1)=-\dfrac{4}{x+1}\to0\) en \(\pm\infty\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]-1;+\infty[\) et au-dessus sur \(]-\infty;-1[\)
2. \(\left(-\dfrac{4}{x+1}\right)'=\dfrac{4}{(x+1)^2}\) : \(f'(x)=1+\dfrac{4}{(x+1)^2}>0\) : \(f\) croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
3. \(x\in D\Rightarrow-2-x\in D\) et \(f(-2-x)=-x-1-\dfrac{4}{-x-1}\)
\(=-\left(x+1-\dfrac{4}{x+1}\right)=-f(x)\)
[] \(f(-2-x)+f(x)=0=2\times0\) : \(\Omega(-1;0)\) est un centre de symétrie
4. \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)=0\) :
[] les points \((-3;0)\) et \((1;0)\)
b) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\) ; \(-\dfrac{4}{x+1}\to-\infty\) en \(-1^+\) et \(+\infty\) en \(-1^-\) : \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\) (asymptote verticale \(x=-1\)).
c) \(f(x)-(x+1)=-\dfrac{4}{x+1}\to0\) en \(\pm\infty\) :
[] \((C_f)\) au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]-1;+\infty[\) et au-dessus sur \(]-\infty;-1[\)
2. \(\left(-\dfrac{4}{x+1}\right)'=\dfrac{4}{(x+1)^2}\) : \(f'(x)=1+\dfrac{4}{(x+1)^2}>0\) : \(f\) croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).
3. \(x\in D\Rightarrow-2-x\in D\) et \(f(-2-x)=-x-1-\dfrac{4}{-x-1}\)
\(=-\left(x+1-\dfrac{4}{x+1}\right)=-f(x)\)
[] \(f(-2-x)+f(x)=0=2\times0\) : \(\Omega(-1;0)\) est un centre de symétrie
4. \(x^2+2x-3=(x-1)(x+3)=0\) :
[] les points \((-3;0)\) et \((1;0)\)