Exercice 1 (5.5 pts)
On considère dans l’espace deux points \(A(0;1;2)\), \(B(2;-1;1)\) et trois vecteurs \(\vec{u}(1;0;-2)\), \(\vec{v}(1;-1;-3)\), \(\vec{w}(1;-1;2)\).
1. Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) qui passe par \(B(2;-1;1)\) et de vecteur directeur \(\vec{w}(1;-1;2)\).
2. a) Montrer que les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
b) Montrer que \(2x-y+z-1=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\) qui passe par le point \(A\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
3. a) Montrer que les trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
b) En déduire que la droite \((D)\) perce le plan \((P)\), et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
1. Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) qui passe par \(B(2;-1;1)\) et de vecteur directeur \(\vec{w}(1;-1;2)\).
2. a) Montrer que les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
b) Montrer que \(2x-y+z-1=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\) qui passe par le point \(A\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
3. a) Montrer que les trois vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
b) En déduire que la droite \((D)\) perce le plan \((P)\), et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] 1. \((D)\ :\ \begin{cases}x=2+t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\))
2.a) \(\dfrac{1}{1}=1\) et \(\dfrac{0}{-1}=0\) : les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas proportionnelles.
[] \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires
b) \(A\) : \(0-1+2-1=0\) ✔ ; pour le vecteur \(\vec{u}\) : \(2\times1-0+(-2)=0\) ✔ ; pour \(\vec{v}\) : \(2+1-3=0\) ✔.
(un vecteur \((a;b;c)\) dirige le plan \(2x-y+z-1=0\) si \(2a-b+c=0\))
[] \((P)\ :\ 2x-y+z-1=0\)
💡 Méthode : \(M(x;y;z)\in(ABC)\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0\) ; trois vecteurs sont coplanaires \(\iff\) leur déterminant est nul.
3.a) \(\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=1\begin{vmatrix}-1&-1\\-3&2\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}0&-1\\-2&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}0&-1\\-2&-3\end{vmatrix}\)
\(=-5+2-2\)
\(=-5\neq0\)
[] \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires
b) \(\vec{w}\) n’est pas un vecteur directeur de \((P)\) : \((D)\) coupe \((P)\) en un point. On remplace :
\(2(2+t)-(-1-t)+(1+2t)-1=0\)
\(\iff5t+5=0\)
\(\iff t=-1\)
[] \((D)\cap(P)=\{E(1;0;-1)\}\)
2.a) \(\dfrac{1}{1}=1\) et \(\dfrac{0}{-1}=0\) : les coordonnées de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas proportionnelles.
[] \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires
b) \(A\) : \(0-1+2-1=0\) ✔ ; pour le vecteur \(\vec{u}\) : \(2\times1-0+(-2)=0\) ✔ ; pour \(\vec{v}\) : \(2+1-3=0\) ✔.
(un vecteur \((a;b;c)\) dirige le plan \(2x-y+z-1=0\) si \(2a-b+c=0\))
[] \((P)\ :\ 2x-y+z-1=0\)
💡 Méthode : \(M(x;y;z)\in(ABC)\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0\) ; trois vecteurs sont coplanaires \(\iff\) leur déterminant est nul.
3.a) \(\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=1\begin{vmatrix}-1&-1\\-3&2\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}0&-1\\-2&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}0&-1\\-2&-3\end{vmatrix}\)
\(=-5+2-2\)
\(=-5\neq0\)
[] \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires
b) \(\vec{w}\) n’est pas un vecteur directeur de \((P)\) : \((D)\) coupe \((P)\) en un point. On remplace :
\(2(2+t)-(-1-t)+(1+2t)-1=0\)
\(\iff5t+5=0\)
\(\iff t=-1\)
[] \((D)\cap(P)=\{E(1;0;-1)\}\)
Exercice 2 (14.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}\), et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\), et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
3. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
b) Montrer que la droite \((D)\ :\ y=x-2\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\).
c) Étudier la position relative de \((C_f)\) par rapport à la droite \((D)\).
4. a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\ f'(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x^3}\).
b) Montrer que le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(x-1)\).
c) Dresser le tableau de variation de \(f\).
5. a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\ f''(x)=\dfrac{6-2x}{x^4}\).
b) Étudier la concavité de \((C_f)\), et montrer que \((C_f)\) admet un point d’inflexion dont il faut déterminer les coordonnées.
6. On admet que \(f(-1)=-1\), \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{2}\) et \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\) ; construire \((C_f)\).
1. Déterminer \(D_f\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to0}f(x)\), et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
3. a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
b) Montrer que la droite \((D)\ :\ y=x-2\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\) et de \(-\infty\).
c) Étudier la position relative de \((C_f)\) par rapport à la droite \((D)\).
4. a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\ f'(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x^3}\).
b) Montrer que le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(x-1)\).
c) Dresser le tableau de variation de \(f\).
5. a) Montrer que \((\forall x\in D_f)\ f''(x)=\dfrac{6-2x}{x^4}\).
b) Étudier la concavité de \((C_f)\), et montrer que \((C_f)\) admet un point d’inflexion dont il faut déterminer les coordonnées.
6. On admet que \(f(-1)=-1\), \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{2}\) et \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\) ; construire \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
[] 1. \(D_f=\mathbb{R}^*\)
2. Calcul direct : le numérateur tend vers \(1\) et \(x^2\to0^+\) : « \(\dfrac{1}{0^+}\) ».
[] \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
[] 3.a) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
b) \(f(x)-(x-2)=\dfrac{x^3-2x^2-x+1-x^3+2x^2}{x^2}\)
\(=\dfrac{1-x}{x^2}\to0\)
[] \((D)\ :\ y=x-2\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\)
c) \(x^2>0\) : \(f(x)-(x-2)\) a le signe de \(1-x\).
[] \((C_f)\) au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;1[\), en dessous sur \(]1;+\infty[\) ; ils se coupent en \((1;-1)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\) ; on écrit \(f(x)=x-2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\) :
4.a) \(f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\)
\(=\dfrac{x^3+x-2}{x^3}\)
\(=\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x^3}\)
b) \(x^2+x+2>0\) (\(\Delta=1-8<0\)) ; et \(\dfrac{x-1}{x^3}=\dfrac{x(x-1)}{x^4}\) a le signe de \(x(x-1)\).
c) \(f'(x)=0\iff x=1\) ; \(f(1)=-1\) :
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
5.a) \(f''(x)=-\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{6}{x^4}\)
\(=\dfrac{6-2x}{x^4}\)
b) \(x^4>0\) : \(f''(x)\) a le signe de \(6-2x\) ; elle s’annule en \(3\) en changeant de signe ; \(f(3)=\dfrac{27-18-3+1}{9}=\dfrac{7}{9}\).
[] Convexe sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;3]\), concave sur \([3;+\infty[\) ; point d’inflexion \(I\left(3;\dfrac{7}{9}\right)\)
6. Construction :
2. Calcul direct : le numérateur tend vers \(1\) et \(x^2\to0^+\) : « \(\dfrac{1}{0^+}\) ».
[] \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) (axe des ordonnées) est asymptote verticale
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
[] 3.a) \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
b) \(f(x)-(x-2)=\dfrac{x^3-2x^2-x+1-x^3+2x^2}{x^2}\)
\(=\dfrac{1-x}{x^2}\to0\)
[] \((D)\ :\ y=x-2\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\)
c) \(x^2>0\) : \(f(x)-(x-2)\) a le signe de \(1-x\).
[] \((C_f)\) au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;1[\), en dessous sur \(]1;+\infty[\) ; ils se coupent en \((1;-1)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\) ; on écrit \(f(x)=x-2-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\) :
4.a) \(f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}\)
\(=\dfrac{x^3+x-2}{x^3}\)
\(=\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x^3}\)
b) \(x^2+x+2>0\) (\(\Delta=1-8<0\)) ; et \(\dfrac{x-1}{x^3}=\dfrac{x(x-1)}{x^4}\) a le signe de \(x(x-1)\).
c) \(f'(x)=0\iff x=1\) ; \(f(1)=-1\) :
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
5.a) \(f''(x)=-\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{6}{x^4}\)
\(=\dfrac{6-2x}{x^4}\)
b) \(x^4>0\) : \(f''(x)\) a le signe de \(6-2x\) ; elle s’annule en \(3\) en changeant de signe ; \(f(3)=\dfrac{27-18-3+1}{9}=\dfrac{7}{9}\).
[] Convexe sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;3]\), concave sur \([3;+\infty[\) ; point d’inflexion \(I\left(3;\dfrac{7}{9}\right)\)
6. Construction :