Exercice 1 (8 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{x^2-2x+3}\) ; soit \((C)\) la courbe de \(f\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Étudier les branches infinies de la courbe \((C)\).
2. Étudier la position de \((C)\) par rapport à la droite \((D)\ :\ y=1\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{4(-x^2+3x)}{(x^2-2x+3)^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Tracer la courbe \((C)\).
1. Étudier les branches infinies de la courbe \((C)\).
2. Étudier la position de \((C)\) par rapport à la droite \((D)\ :\ y=1\).
3. a) Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{4(-x^2+3x)}{(x^2-2x+3)^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Tracer la courbe \((C)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
\(x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0\) : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2}\)
\(=1\)
[] La droite \((D)\ :\ y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et en \(-\infty\)
2. \(f(x)-1=\dfrac{x^2+2x-3-x^2+2x-3}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{4x-6}{x^2-2x+3}\)
[] \((C)\) est au-dessus de \((D)\) si \(x>\dfrac{3}{2}\), en dessous si \(x<\dfrac{3}{2}\) ; ils se coupent en \(\left(\dfrac{3}{2};1\right)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (quotient de polynômes, dénominateur strictement positif) :
3.a) \(f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x^2-2x+3)-(x^2+2x-3)(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(=\dfrac{(2x^3-2x^2+2x+6)-(2x^3+2x^2-10x+6)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(=\dfrac{4(-x^2+3x)}{(x^2-2x+3)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations.
b) \(f'(x)=0\iff4x(3-x)=0\iff x=0\) ou \(x=3\) ; \(f(0)=-1\) et \(f(3)=\dfrac{12}{6}=2\) :
4. Courbe :
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2}\)
\(=1\)
[] La droite \((D)\ :\ y=1\) est asymptote horizontale en \(+\infty\) et en \(-\infty\)
2. \(f(x)-1=\dfrac{x^2+2x-3-x^2+2x-3}{x^2-2x+3}\)
\(=\dfrac{4x-6}{x^2-2x+3}\)
[] \((C)\) est au-dessus de \((D)\) si \(x>\dfrac{3}{2}\), en dessous si \(x<\dfrac{3}{2}\) ; ils se coupent en \(\left(\dfrac{3}{2};1\right)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (quotient de polynômes, dénominateur strictement positif) :
3.a) \(f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x^2-2x+3)-(x^2+2x-3)(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(=\dfrac{(2x^3-2x^2+2x+6)-(2x^3+2x^2-10x+6)}{(x^2-2x+3)^2}\)
\(=\dfrac{4(-x^2+3x)}{(x^2-2x+3)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations.
b) \(f'(x)=0\iff4x(3-x)=0\iff x=0\) ou \(x=3\) ; \(f(0)=-1\) et \(f(3)=\dfrac{12}{6}=2\) :
4. Courbe :
Exercice 2 (12 pts)
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2-1}\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\) et montrer que \(f\) est une fonction impaire.
2. Calculer les limites \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\).
3. a) Vérifier que \((\forall x\in D)\ f(x)=x-\dfrac{3x}{x^2-1}\).
b) En déduire l’équation de l’asymptote oblique à la courbe \((C)\) en \(+\infty\).
c) Étudier la position relative de \((C)\) et de la droite \(y=x\).
4. a) Montrer que \((\forall x\in D)\ f'(x)=1+\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\).
b) Étudier les variations de \(f\) puis donner le tableau de variations.
5. a) Prouver que \((\forall x\in D)\ f''(x)=\dfrac{-6x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\).
b) Étudier la concavité de la courbe \((C)\).
6. Tracer la courbe \((C)\).
7. Soit \(m\) un paramètre réel. Déterminer graphiquement suivant \(m\) le nombre de solutions de l’équation \(x^2(x-m)=4x-m\).
1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\) et montrer que \(f\) est une fonction impaire.
2. Calculer les limites \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)\).
3. a) Vérifier que \((\forall x\in D)\ f(x)=x-\dfrac{3x}{x^2-1}\).
b) En déduire l’équation de l’asymptote oblique à la courbe \((C)\) en \(+\infty\).
c) Étudier la position relative de \((C)\) et de la droite \(y=x\).
4. a) Montrer que \((\forall x\in D)\ f'(x)=1+\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\).
b) Étudier les variations de \(f\) puis donner le tableau de variations.
5. a) Prouver que \((\forall x\in D)\ f''(x)=\dfrac{-6x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\).
b) Étudier la concavité de la courbe \((C)\).
6. Tracer la courbe \((C)\).
7. Soit \(m\) un paramètre réel. Déterminer graphiquement suivant \(m\) le nombre de solutions de l’équation \(x^2(x-m)=4x-m\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(D=\mathbb{R}-\{-1;1\}\). Condition 1 : si \(x\in D\) alors \(-x\in D\) ✔. Condition 2 : \(f(-x)=\dfrac{-x^3+4x}{x^2-1}=-f(x)\) ✔.
[] \(f\) est impaire
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=+\infty\) ; en \(1\) : calcul direct « \(\dfrac{-3}{0}\) », avec \(x^2-1>0\) à droite et \(<0\) à gauche.
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=-\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=+\infty\)
3.a) \(x-\dfrac{3x}{x^2-1}=\dfrac{x^3-x-3x}{x^2-1}\)
\(=f(x)\)
[] b) \(f(x)-x=-\dfrac{3x}{x^2-1}\to0\) : \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
c) Signe de \(-\dfrac{3x}{x^2-1}\) : positif sur \(]-\infty;-1[\) et \(]0;1[\), négatif sur \(]-1;0[\) et \(]1;+\infty[\).
[] \((C)\) au-dessus de \(y=x\) sur \(]-\infty;-1[\cup]0;1[\), en dessous sur \(]-1;0[\cup]1;+\infty[\), avec \(O\) point commun
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur chacun des intervalles de \(D\) (fonction rationnelle) :
4.a) \(f'(x)=1-3\times\dfrac{(x^2-1)-x\times2x}{(x^2-1)^2}\)
\(=1+\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\)
b) \(f'(x)>0\) sur \(D\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\), \(]-1;1[\) et \(]1;+\infty[\) (limites par imparité et calcul direct).
5.a) \(f''(x)=3\times\dfrac{2x(x^2-1)^2-(x^2+1)\times2(x^2-1)\times2x}{(x^2-1)^4}\)
\(=\dfrac{6x\left[(x^2-1)-2(x^2+1)\right]}{(x^2-1)^3}\)
\(=\dfrac{-6x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\)
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
b) \(x^2+3>0\) : \(f''(x)\) a le signe de \(\dfrac{-x}{x^2-1}\).
[] Convexe sur \(]-\infty;-1[\) et \([0;1[\), concave sur \(]-1;0]\) et \(]1;+\infty[\) ; \(O(0;0)\) est un point d’inflexion
6. Courbe (symétrique par rapport à \(O\)) :
7. \(x=\pm1\) ne sont pas solutions (\(-3\neq0\)) ; pour \(x\in D\) : \(x^3-mx^2=4x-m\iff x^3-4x=m(x^2-1)\iff f(x)=m\).
[] Sur chaque intervalle, \(f\) est continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\) : la droite \(y=m\) coupe \((C)\) en \(3\) points ; l’équation a trois solutions pour tout \(m\)
[] \(f\) est impaire
2. \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}=+\infty\) ; en \(1\) : calcul direct « \(\dfrac{-3}{0}\) », avec \(x^2-1>0\) à droite et \(<0\) à gauche.
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=-\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=+\infty\)
3.a) \(x-\dfrac{3x}{x^2-1}=\dfrac{x^3-x-3x}{x^2-1}\)
\(=f(x)\)
[] b) \(f(x)-x=-\dfrac{3x}{x^2-1}\to0\) : \(y=x\) est asymptote oblique en \(+\infty\)
c) Signe de \(-\dfrac{3x}{x^2-1}\) : positif sur \(]-\infty;-1[\) et \(]0;1[\), négatif sur \(]-1;0[\) et \(]1;+\infty[\).
[] \((C)\) au-dessus de \(y=x\) sur \(]-\infty;-1[\cup]0;1[\), en dessous sur \(]-1;0[\cup]1;+\infty[\), avec \(O\) point commun
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur chacun des intervalles de \(D\) (fonction rationnelle) :
4.a) \(f'(x)=1-3\times\dfrac{(x^2-1)-x\times2x}{(x^2-1)^2}\)
\(=1+\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\)
b) \(f'(x)>0\) sur \(D\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;-1[\), \(]-1;1[\) et \(]1;+\infty[\) (limites par imparité et calcul direct).
5.a) \(f''(x)=3\times\dfrac{2x(x^2-1)^2-(x^2+1)\times2(x^2-1)\times2x}{(x^2-1)^4}\)
\(=\dfrac{6x\left[(x^2-1)-2(x^2+1)\right]}{(x^2-1)^3}\)
\(=\dfrac{-6x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\)
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
b) \(x^2+3>0\) : \(f''(x)\) a le signe de \(\dfrac{-x}{x^2-1}\).
[] Convexe sur \(]-\infty;-1[\) et \([0;1[\), concave sur \(]-1;0]\) et \(]1;+\infty[\) ; \(O(0;0)\) est un point d’inflexion
6. Courbe (symétrique par rapport à \(O\)) :
7. \(x=\pm1\) ne sont pas solutions (\(-3\neq0\)) ; pour \(x\in D\) : \(x^3-mx^2=4x-m\iff x^3-4x=m(x^2-1)\iff f(x)=m\).
[] Sur chaque intervalle, \(f\) est continue, strictement croissante, de \(-\infty\) à \(+\infty\) : la droite \(y=m\) coupe \((C)\) en \(3\) points ; l’équation a trois solutions pour tout \(m\)