Exercice 1 (6 pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les droites \((D_1)\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=-1+2t\\z=t\end{cases}\) et \((D_2)\ :\ \begin{cases}x=3-k\\y=2+k\\z=1+2k\end{cases}\) (\(t,k\in\mathbb{R}\)).
1. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) ne sont pas parallèles.
2. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(I\).
3. Montrer que \(x-y+z-2=0\) est une équation du plan \((P)\) contenant \((D_1)\) et \((D_2)\).
4. Le point \(E(1;1;1)\) appartient-il à \((P)\) ?
1. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) ne sont pas parallèles.
2. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(I\).
3. Montrer que \(x-y+z-2=0\) est une équation du plan \((P)\) contenant \((D_1)\) et \((D_2)\).
4. Le point \(E(1;1;1)\) appartient-il à \((P)\) ?
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] 1. \(\vec{u_1}(1;2;1)\) et \(\vec{u_2}(-1;1;2)\) : coordonnées non proportionnelles, \((D_1)\) et \((D_2)\) ne sont pas parallèles
2. On résout : \(1+t=3-k\) ; \(-1+2t=2+k\) ; \(t=1+2k\). Des équations 1 et 3 : \(2-k=1+2k\), donc \(k=\dfrac{1}{3}\) et \(t=\dfrac{5}{3}\).
Équation 2 : \(-1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{7}{3}\) et \(2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}\) ✔.
[] Les droites sont sécantes en \(I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)
3. Le plan passe par \(A(1;-1;0)\in(D_1)\) et est dirigé par \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) :
\(\det\left(\overrightarrow{AM},\vec{u_1},\vec{u_2}\right)=3(x-1)+(-2y-2+z)+(-y-1+2z)\)
\(=3x-3y+3z-6\)
[] \((P)\ :\ x-y+z-2=0\) (le point \((3;2;1)\in(D_2)\) la vérifie ✔)
[] 4. \(1-1+1-2=-1\neq0\) : \(E\notin(P)\)
2. On résout : \(1+t=3-k\) ; \(-1+2t=2+k\) ; \(t=1+2k\). Des équations 1 et 3 : \(2-k=1+2k\), donc \(k=\dfrac{1}{3}\) et \(t=\dfrac{5}{3}\).
Équation 2 : \(-1+\dfrac{10}{3}=\dfrac{7}{3}\) et \(2+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}\) ✔.
[] Les droites sont sécantes en \(I\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3}\right)\)
3. Le plan passe par \(A(1;-1;0)\in(D_1)\) et est dirigé par \(\vec{u_1}\) et \(\vec{u_2}\) :
\(\det\left(\overrightarrow{AM},\vec{u_1},\vec{u_2}\right)=3(x-1)+(-2y-2+z)+(-y-1+2z)\)
\(=3x-3y+3z-6\)
[] \((P)\ :\ x-y+z-2=0\) (le point \((3;2;1)\in(D_2)\) la vérifie ✔)
[] 4. \(1-1+1-2=-1\neq0\) : \(E\notin(P)\)
Exercice 2 (14 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{x^3+4}{x^2}\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(0\), en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2. Montrer que \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) et étudier leur position relative.
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*)\ f'(x)=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}\).
4. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \((C_f)\).
6. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(-2\).
7. Tracer \((C_f)\).
8. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du réel \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=m\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(0\), en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
2. Montrer que \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) et étudier leur position relative.
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*)\ f'(x)=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}\).
4. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \((C_f)\).
6. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(-2\).
7. Tracer \((C_f)\).
8. Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du réel \(m\), le nombre de solutions de l’équation \(f(x)=m\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. En \(0\) : calcul direct « \(\dfrac{4}{0^+}\) » ; en \(\pm\infty\) : \(\lim\dfrac{x^3}{x^2}=\lim x\).
[] \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
2. \(f(x)=x+\dfrac{4}{x^2}\) donc \(f(x)-x=\dfrac{4}{x^2}\to0\) en \(\pm\infty\) et \(\dfrac{4}{x^2}>0\).
[] \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique et \((C_f)\) est au-dessus de \((D)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) :
3. \(f'(x)=1-\dfrac{8}{x^3}\)
\(=\dfrac{x^3-8}{x^3}\)
\(=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}\)
4. \(x^2+2x+4>0\) (\(\Delta<0\)) : \(f'(x)\) a le signe de \(\dfrac{x-2}{x^3}\), c’est-à-dire de \(x(x-2)\) ; \(f(2)=2+1=3\).
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
[] 5. \(f''(x)=\dfrac{24}{x^4}>0\) : \((C_f)\) est convexe sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\)
6. \(f(-2)=-2+1=-1\) et \(f'(-2)=1-\dfrac{8}{-8}=2\) : \(y=2(x+2)-1\).
[] \((T)\ :\ y=2x+3\)
7. Courbe :
8. Sur \(]-\infty;0[\), \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\) : une solution pour tout \(m\) ; sur \(]0;+\infty[\), le minimum vaut \(3\).
[] \(m<3\) : une solution ; \(m=3\) : deux solutions ; \(m>3\) : trois solutions
[] \(\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
2. \(f(x)=x+\dfrac{4}{x^2}\) donc \(f(x)-x=\dfrac{4}{x^2}\to0\) en \(\pm\infty\) et \(\dfrac{4}{x^2}>0\).
[] \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique et \((C_f)\) est au-dessus de \((D)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\) :
3. \(f'(x)=1-\dfrac{8}{x^3}\)
\(=\dfrac{x^3-8}{x^3}\)
\(=\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}\)
4. \(x^2+2x+4>0\) (\(\Delta<0\)) : \(f'(x)\) a le signe de \(\dfrac{x-2}{x^3}\), c’est-à-dire de \(x(x-2)\) ; \(f(2)=2+1=3\).
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
[] 5. \(f''(x)=\dfrac{24}{x^4}>0\) : \((C_f)\) est convexe sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\)
6. \(f(-2)=-2+1=-1\) et \(f'(-2)=1-\dfrac{8}{-8}=2\) : \(y=2(x+2)-1\).
[] \((T)\ :\ y=2x+3\)
7. Courbe :
8. Sur \(]-\infty;0[\), \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\) : une solution pour tout \(m\) ; sur \(]0;+\infty[\), le minimum vaut \(3\).
[] \(m<3\) : une solution ; \(m=3\) : deux solutions ; \(m>3\) : trois solutions