Exercice 1 (7 pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\). On considère \(A(1;0;0)\), \(B(0;1;0)\), \(C(0;0;1)\) et \(D(1;1;1)\).
1. Montrer que \(x+y+z-1=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. Vérifier que \(D\notin(ABC)\).
3. Déterminer l’intersection \(G\) de la droite \((OD)\) et du plan \((ABC)\).
4. Montrer que \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).
5. Déterminer une équation du plan \((P’)\) passant par \(D\) et parallèle à \((ABC)\).
6. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}(1;-1;0)\). Montrer que \((\Delta)\subset(ABC)\).
1. Montrer que \(x+y+z-1=0\) est une équation du plan \((ABC)\).
2. Vérifier que \(D\notin(ABC)\).
3. Déterminer l’intersection \(G\) de la droite \((OD)\) et du plan \((ABC)\).
4. Montrer que \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).
5. Déterminer une équation du plan \((P’)\) passant par \(D\) et parallèle à \((ABC)\).
6. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}(1;-1;0)\). Montrer que \((\Delta)\subset(ABC)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(-1;1;0)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;0;1)\) ne sont pas colinéaires ; \(A\), \(B\), \(C\) vérifient \(x+y+z-1=0\) (\(1-1=0\) pour chacun).
[] \((ABC)\ :\ x+y+z-1=0\)
[] 2. \(1+1+1-1=2\neq0\) : \(D\notin(ABC)\)
💡 Méthode : un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on remplace la représentation paramétrique d’une droite dans l’équation et on résout en \(t\) ; deux plans sont parallèles \(\iff\) coefficients \((a;b;c)\) proportionnels.
3. \((OD)\ :\ x=t\), \(y=t\), \(z=t\) ; \(3t-1=0\iff t=\dfrac{1}{3}\).
[] \(G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
[] 4. Coordonnées du centre de gravité : \(\left(\dfrac{1+0+0}{3};\dfrac{0+1+0}{3};\dfrac{0+0+1}{3}\right)=G\) ✔
5. \((P’)\ :\ x+y+z+d=0\) (mêmes coefficients) et \(D\in(P’)\) : \(3+d=0\).
[] \((P’)\ :\ x+y+z-3=0\)
6. \((\Delta)\ :\ x=1+t\), \(y=-t\), \(z=0\) : \((1+t)-t+0-1=0\) pour tout \(t\).
[] Tout point de \((\Delta)\) est dans \((ABC)\) : \((\Delta)\subset(ABC)\)
[] \((ABC)\ :\ x+y+z-1=0\)
[] 2. \(1+1+1-1=2\neq0\) : \(D\notin(ABC)\)
💡 Méthode : un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on remplace la représentation paramétrique d’une droite dans l’équation et on résout en \(t\) ; deux plans sont parallèles \(\iff\) coefficients \((a;b;c)\) proportionnels.
3. \((OD)\ :\ x=t\), \(y=t\), \(z=t\) ; \(3t-1=0\iff t=\dfrac{1}{3}\).
[] \(G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
[] 4. Coordonnées du centre de gravité : \(\left(\dfrac{1+0+0}{3};\dfrac{0+1+0}{3};\dfrac{0+0+1}{3}\right)=G\) ✔
5. \((P’)\ :\ x+y+z+d=0\) (mêmes coefficients) et \(D\in(P’)\) : \(3+d=0\).
[] \((P’)\ :\ x+y+z-3=0\)
6. \((\Delta)\ :\ x=1+t\), \(y=-t\), \(z=0\) : \((1+t)-t+0-1=0\) pour tout \(t\).
[] Tout point de \((\Delta)\) est dans \((ABC)\) : \((\Delta)\subset(ABC)\)
Exercice 2 (13 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x\sqrt{4-x^2}\).
1. Déterminer \(D_f\) et montrer que \(f\) est impaire.
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(2\) et interpréter géométriquement.
3. Montrer que \((\forall x\in]-2;2[)\ f'(x)=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0;2]\), puis sur \([-2;2]\).
5. En déduire que \((\forall x\in[-2;2])\ \left|x\sqrt{4-x^2}\right|\leq2\).
6. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) en \(O\) et étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((T)\).
7. Tracer \((C_f)\).
1. Déterminer \(D_f\) et montrer que \(f\) est impaire.
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(2\) et interpréter géométriquement.
3. Montrer que \((\forall x\in]-2;2[)\ f'(x)=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0;2]\), puis sur \([-2;2]\).
5. En déduire que \((\forall x\in[-2;2])\ \left|x\sqrt{4-x^2}\right|\leq2\).
6. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) en \(O\) et étudier la position de \((C_f)\) par rapport à \((T)\).
7. Tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(4-x^2\geq0\iff x\in[-2;2]\) ; \(D_f\) est symétrique et \(f(-x)=-x\sqrt{4-x^2}=-f(x)\).
[] \(D_f=[-2;2]\) et \(f\) est impaire
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie.
2. \(x<2\ :\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{2-x}\sqrt{2+x}}{-\left(\sqrt{2-x}\right)^2}\)
\(=-\dfrac{x\sqrt{2+x}}{\sqrt{2-x}}\to-\infty\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(2\) : demi-tangente verticale au point \((2;0)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-2;2[\) (produit ; \(4-x^2>0\)) :
3. \(f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\times\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}\)
\(=\dfrac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}}\)
\(=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}\)
4. \(f'(x)=0\iff x^2=2\iff x=\sqrt{2}\) (sur \([0;2]\)) ; \(f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) ; par imparité, \(f(-\sqrt{2})=-2\).
[] 5. Sur \([-2;2]\) : \(-2\leq f(x)\leq2\), donc \(|f(x)|\leq2\)
6. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\) : \((T)\ :\ y=2x\) ; \(f(x)-2x=x\left(\sqrt{4-x^2}-2\right)\) et \(\sqrt{4-x^2}\leq2\).
[] \((C_f)\) est en dessous de \((T)\) sur \(]0;2]\) et au-dessus sur \([-2;0[\)
7. Courbe (symétrique par rapport à \(O\)) :
[] \(D_f=[-2;2]\) et \(f\) est impaire
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie.
2. \(x<2\ :\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x\sqrt{2-x}\sqrt{2+x}}{-\left(\sqrt{2-x}\right)^2}\)
\(=-\dfrac{x\sqrt{2+x}}{\sqrt{2-x}}\to-\infty\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(2\) : demi-tangente verticale au point \((2;0)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-2;2[\) (produit ; \(4-x^2>0\)) :
3. \(f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\times\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}\)
\(=\dfrac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}}\)
\(=\dfrac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}\)
4. \(f'(x)=0\iff x^2=2\iff x=\sqrt{2}\) (sur \([0;2]\)) ; \(f(\sqrt{2})=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) ; par imparité, \(f(-\sqrt{2})=-2\).
[] 5. Sur \([-2;2]\) : \(-2\leq f(x)\leq2\), donc \(|f(x)|\leq2\)
6. \(f(0)=0\) et \(f'(0)=2\) : \((T)\ :\ y=2x\) ; \(f(x)-2x=x\left(\sqrt{4-x^2}-2\right)\) et \(\sqrt{4-x^2}\leq2\).
[] \((C_f)\) est en dessous de \((T)\) sur \(]0;2]\) et au-dessus sur \([-2;0[\)
7. Courbe (symétrique par rapport à \(O\)) :