Exercice 1 (7 pts)
Dans un repère de l’espace, on considère la droite \((D_1)\) passant par \(A(1;2;0)\) et dirigée par \(\vec{u}(1;-1;2)\), et la droite \((D_2)\) passant par \(B(0;0;2)\) et dirigée par \(\vec{v}(2;1;0)\).
1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites.
2. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(K\).
3. Vérifier que \(-2x+4y+3z-6=0\) est une équation du plan \((P)\) contenant \((D_1)\) et \((D_2)\).
4. Le point \(E(1;1;1)\) appartient-il à \((P)\) ?
1. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites.
2. Montrer que \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection \(K\).
3. Vérifier que \(-2x+4y+3z-6=0\) est une équation du plan \((P)\) contenant \((D_1)\) et \((D_2)\).
4. Le point \(E(1;1;1)\) appartient-il à \((P)\) ?
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \((D_1):\begin{cases}x=1+t\\y=2-t\\z=2t\end{cases}\) et \((D_2):\begin{cases}x=2s\\y=s\\z=2\end{cases}\) \((t,s\in\mathbb{R})\).
2. \(2t=2\) donne \(t=1\) ; \(2-t=s\) donne \(s=1\) ; vérification : \(1+t=2=2s\) ✔ :
[] sécantes en \(K(2;1;2)\)
3. \(A\) : \(-2+8+0-6=0\) ✔ ; \(B\) : \(0+0+6-6=0\) ✔ ; \(K\) : \(-4+4+6-6=0\) ✔ : \(A\), \(B\), \(K\) non alignés appartiennent au plan des deux droites ✔.
4. \(-2+4+3-6=-1\neq0\) :
[] \(E\notin(P)\)
2. \(2t=2\) donne \(t=1\) ; \(2-t=s\) donne \(s=1\) ; vérification : \(1+t=2=2s\) ✔ :
[] sécantes en \(K(2;1;2)\)
3. \(A\) : \(-2+8+0-6=0\) ✔ ; \(B\) : \(0+0+6-6=0\) ✔ ; \(K\) : \(-4+4+6-6=0\) ✔ : \(A\), \(B\), \(K\) non alignés appartiennent au plan des deux droites ✔.
4. \(-2+4+3-6=-1\neq0\) :
[] \(E\notin(P)\)
Exercice 2 (13 pts)
Soit \(f(x)=x^3-3x^2+4\) définie sur \(\mathbb{R}\), et \((C_f)\) sa courbe.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=(x-2)^2(x+1)\) et étudier le signe de \(f(x)\).
b) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
4. a) Calculer \(f''(x)\) et montrer que \(I(1;2)\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
b) Montrer que \(I\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
c) Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(I\).
5. Tracer \((C_f)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=(x-2)^2(x+1)\) et étudier le signe de \(f(x)\).
b) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
4. a) Calculer \(f''(x)\) et montrer que \(I(1;2)\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
b) Montrer que \(I\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
c) Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(I\).
5. Tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Limite du terme de plus haut degré \(x^3\) :
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) ; \(f(0)=4\), \(f(2)=0\).
3. a) \((x-2)^2(x+1)=\left(x^2-4x+4\right)(x+1)=x^3-3x^2+4\) ✔ ; \((x-2)^2\geq0\) :
[] \(f(x)\leq0\) sur \(]-\infty;-1]\) et \(f(x)\geq0\) sur \([-1;+\infty[\)
b)
[] axe des abscisses : \((-1;0)\) et \((2;0)\) ; axe des ordonnées : \((0;4)\)
4. a) \(f''(x)=6x-6\) s’annule en \(1\) en changeant de signe ; \(f(1)=2\) :
[] \(I(1;2)\) est un point d’inflexion
b) \((\forall x)\ 2-x\in\mathbb{R}\) et \(f(2-x)+f(x)\)
\(=(-x)^2(3-x)+(x-2)^2(x+1)=4=2\times2\)
[] \(I(1;2)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
c) \(f'(1)=-3\) : \(y=-3(x-1)+2\) :
[] \((T):y=-3x+5\)
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) ; \(f(0)=4\), \(f(2)=0\).
3. a) \((x-2)^2(x+1)=\left(x^2-4x+4\right)(x+1)=x^3-3x^2+4\) ✔ ; \((x-2)^2\geq0\) :
[] \(f(x)\leq0\) sur \(]-\infty;-1]\) et \(f(x)\geq0\) sur \([-1;+\infty[\)
b)
[] axe des abscisses : \((-1;0)\) et \((2;0)\) ; axe des ordonnées : \((0;4)\)
4. a) \(f''(x)=6x-6\) s’annule en \(1\) en changeant de signe ; \(f(1)=2\) :
[] \(I(1;2)\) est un point d’inflexion
b) \((\forall x)\ 2-x\in\mathbb{R}\) et \(f(2-x)+f(x)\)
\(=(-x)^2(3-x)+(x-2)^2(x+1)=4=2\times2\)
[] \(I(1;2)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
c) \(f'(1)=-3\) : \(y=-3(x-1)+2\) :
[] \((T):y=-3x+5\)