Exercice 1 (7 pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\). On considère les points \(A(1;0;2)\), \(B(2;1;0)\), \(C(0;1;1)\) et \(D(1;3;-1)\).
1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est \(x+3y+2z-5=0\).
3. Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont-ils coplanaires ?
4. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(D\) et dirigée par \(\overrightarrow{AB}\). Donner une représentation paramétrique de \((\Delta)\) et étudier sa position relative avec le plan \((ABC)\).
5. Étudier la position relative du plan \((ABC)\) et du plan \((Q)\ :\ 2x+6y+4z+1=0\).
1. Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan \((ABC)\) est \(x+3y+2z-5=0\).
3. Les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sont-ils coplanaires ?
4. Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(D\) et dirigée par \(\overrightarrow{AB}\). Donner une représentation paramétrique de \((\Delta)\) et étudier sa position relative avec le plan \((ABC)\).
5. Étudier la position relative du plan \((ABC)\) et du plan \((Q)\ :\ 2x+6y+4z+1=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(1;1;-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;1;-1)\) : \(\dfrac{-1}{1}\neq\dfrac{1}{1}\), les coordonnées ne sont pas proportionnelles.
[] \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés
💡 Méthode : \(M(x;y;z)\in(ABC)\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0\) ; trois vecteurs sont coplanaires \(\iff\) leur déterminant est nul.
2. \(\overrightarrow{AM}(x-1;y;z-2)\) :
\(\det=(x-1)\begin{vmatrix}1&1\\-2&-1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}y&1\\z-2&-1\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}y&1\\z-2&-2\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)+(y+z-2)+(2y+z-2)\)
\(=x+3y+2z-5\)
[] \((ABC)\ :\ x+3y+2z-5=0\) (on vérifie : \(A\), \(B\), \(C\) la satisfont ✔)
[] 3. \(1+9-2-5=3\neq0\) : \(D\notin(ABC)\), les quatre points ne sont pas coplanaires
4. \((\Delta)\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=3+t\\z=-1-2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) ; on remplace dans l’équation de \((ABC)\) :
\((1+t)+3(3+t)+2(-1-2t)-5=0\)
\(\iff3=0\)
[!] Aucune solution : \((\Delta)\) est strictement parallèle à \((ABC)\)
5. \((2;6;4)=2(1;3;2)\) : coefficients proportionnels, mais \(1\neq2\times(-5)\).
[] \((ABC)\) et \((Q)\) sont strictement parallèles
[] \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés
💡 Méthode : \(M(x;y;z)\in(ABC)\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0\) ; trois vecteurs sont coplanaires \(\iff\) leur déterminant est nul.
2. \(\overrightarrow{AM}(x-1;y;z-2)\) :
\(\det=(x-1)\begin{vmatrix}1&1\\-2&-1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}y&1\\z-2&-1\end{vmatrix}+(-1)\begin{vmatrix}y&1\\z-2&-2\end{vmatrix}\)
\(=(x-1)+(y+z-2)+(2y+z-2)\)
\(=x+3y+2z-5\)
[] \((ABC)\ :\ x+3y+2z-5=0\) (on vérifie : \(A\), \(B\), \(C\) la satisfont ✔)
[] 3. \(1+9-2-5=3\neq0\) : \(D\notin(ABC)\), les quatre points ne sont pas coplanaires
4. \((\Delta)\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=3+t\\z=-1-2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)) ; on remplace dans l’équation de \((ABC)\) :
\((1+t)+3(3+t)+2(-1-2t)-5=0\)
\(\iff3=0\)
[!] Aucune solution : \((\Delta)\) est strictement parallèle à \((ABC)\)
5. \((2;6;4)=2(1;3;2)\) : coefficients proportionnels, mais \(1\neq2\times(-5)\).
[] \((ABC)\) et \((Q)\) sont strictement parallèles
Exercice 2 (13 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}-\{1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite de \(1\). Interpréter.
2. a) Vérifier que \(f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}\).
b) En déduire que la droite \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) et étudier leur position relative.
3. Montrer que \(\Omega(1;1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
4. a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \((C_f)\).
6. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(3\).
7. Tracer \((C_f)\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite de \(1\). Interpréter.
2. a) Vérifier que \(f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}\).
b) En déduire que la droite \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) et étudier leur position relative.
3. Montrer que \(\Omega(1;1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
4. a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \((C_f)\).
6. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(3\).
7. Tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty\).
En \(1\) : calcul direct « \(\dfrac{1}{0}\) » ; \(x-1<0\) à gauche et \(x-1>0\) à droite.
[] \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale
2.a) \(x+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x(x-1)+1}{x-1}\)
\(=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}=f(x)\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
b) \(f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}\to0\) en \(\pm\infty\) : \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique.
[] \(\dfrac{1}{x-1}>0\) si \(x>1\) : \((C_f)\) au-dessus de \((D)\) sur \(]1;+\infty[\), en dessous sur \(]-\infty;1[\)
3. 💡 \(\Omega(a;b)\) centre de symétrie : condition 1 \(2a-x\in D_f\) ; condition 2 \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
Condition 1 : si \(x\neq1\) alors \(2-x\neq1\) ✔.
\(f(2-x)+f(x)=(2-x)+\dfrac{1}{1-x}+x+\dfrac{1}{x-1}\)
\(=2=2\times1\)
[] \(\Omega(1;1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\) (fonction rationnelle, dénominateur non nul) :
4.a) \(f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations.
b) \(f'(x)=0\iff x=0\) ou \(x=2\) ; \(f(0)=-1\) et \(f(2)=3\) ; signe de \(x(x-2)\) :
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
5. \(f'(x)=1-(x-1)^{-2}\)
\(\Rightarrow f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}\)
[] \(f''>0\) sur \(]1;+\infty[\) : convexe ; \(f''<0\) sur \(]-\infty;1[\) : concave ; pas de point d’inflexion (\(1\notin D_f\))
6. \(f(3)=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\) et \(f'(3)=\dfrac{3}{4}\) : \(y=\dfrac{3}{4}(x-3)+\dfrac{7}{2}\).
[] \((T)\ :\ y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}\)
7. Courbe (asymptotes \(x=1\) et \(y=x\), centre \(\Omega\), extremums \((0;-1)\) et \((2;3)\)) :
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty\).
En \(1\) : calcul direct « \(\dfrac{1}{0}\) » ; \(x-1<0\) à gauche et \(x-1>0\) à droite.
[] \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale
2.a) \(x+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x(x-1)+1}{x-1}\)
\(=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}=f(x)\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
b) \(f(x)-x=\dfrac{1}{x-1}\to0\) en \(\pm\infty\) : \((D)\ :\ y=x\) est asymptote oblique.
[] \(\dfrac{1}{x-1}>0\) si \(x>1\) : \((C_f)\) au-dessus de \((D)\) sur \(]1;+\infty[\), en dessous sur \(]-\infty;1[\)
3. 💡 \(\Omega(a;b)\) centre de symétrie : condition 1 \(2a-x\in D_f\) ; condition 2 \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
Condition 1 : si \(x\neq1\) alors \(2-x\neq1\) ✔.
\(f(2-x)+f(x)=(2-x)+\dfrac{1}{1-x}+x+\dfrac{1}{x-1}\)
\(=2=2\times1\)
[] \(\Omega(1;1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\) (fonction rationnelle, dénominateur non nul) :
4.a) \(f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations.
b) \(f'(x)=0\iff x=0\) ou \(x=2\) ; \(f(0)=-1\) et \(f(2)=3\) ; signe de \(x(x-2)\) :
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
5. \(f'(x)=1-(x-1)^{-2}\)
\(\Rightarrow f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}\)
[] \(f''>0\) sur \(]1;+\infty[\) : convexe ; \(f''<0\) sur \(]-\infty;1[\) : concave ; pas de point d’inflexion (\(1\notin D_f\))
6. \(f(3)=3+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}\) et \(f'(3)=\dfrac{3}{4}\) : \(y=\dfrac{3}{4}(x-3)+\dfrac{7}{2}\).
[] \((T)\ :\ y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{4}\)
7. Courbe (asymptotes \(x=1\) et \(y=x\), centre \(\Omega\), extremums \((0;-1)\) et \((2;3)\)) :