Exercice 1 (7 pts)
Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points \(A(1;0;2)\), \(B(2;1;0)\) et \(C(0;1;1)\).
1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Donner une représentation paramétrique du plan \((ABC)\).
3. Vérifier que \(x+3y+2z-5=0\) est une équation cartésienne de \((ABC)\).
4. Soit \((D)\) la droite de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\). Déterminer le point d’intersection de \((D)\) et \((ABC)\).
1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Donner une représentation paramétrique du plan \((ABC)\).
3. Vérifier que \(x+3y+2z-5=0\) est une équation cartésienne de \((ABC)\).
4. Soit \((D)\) la droite de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=t\\y=1+t\\z=-t\end{cases}\) \((t\in\mathbb{R})\). Déterminer le point d’intersection de \((D)\) et \((ABC)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AB}(1;1;-2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;1;-1)\) ne sont pas colinéaires (\(\dfrac{1}{-1}\neq\dfrac{1}{1}\)) :
[] \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés
2.
[] \((ABC):\begin{cases}x=1+\alpha-\beta\\y=\alpha+\beta\\z=2-2\alpha-\beta\end{cases}\) \(\left((\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2\right)\)
3. \(A\) : \(1+0+4-5=0\) ✔ ; \(B\) : \(2+3+0-5=0\) ✔ ; \(C\) : \(0+3+2-5=0\) ✔ (trois points non alignés).
4. \(t+3(1+t)+2(-t)-5=0\iff2t-2=0\iff t=1\) :
[] le point \((1;2;-1)\)
[] \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés
2.
[] \((ABC):\begin{cases}x=1+\alpha-\beta\\y=\alpha+\beta\\z=2-2\alpha-\beta\end{cases}\) \(\left((\alpha;\beta)\in\mathbb{R}^2\right)\)
3. \(A\) : \(1+0+4-5=0\) ✔ ; \(B\) : \(2+3+0-5=0\) ✔ ; \(C\) : \(0+3+2-5=0\) ✔ (trois points non alignés).
4. \(t+3(1+t)+2(-t)-5=0\iff2t-2=0\iff t=1\) :
[] le point \((1;2;-1)\)
Exercice 2 (13 pts)
Soit \(f(x)=x^3-3x^2+4\) définie sur \(\mathbb{R}\), et \((C_f)\) sa courbe.
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=(x-2)^2(x+1)\) et étudier le signe de \(f(x)\).
b) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
4. a) Calculer \(f''(x)\) et montrer que \(I(1;2)\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
b) Montrer que \(I\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
c) Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(I\).
5. Tracer \((C_f)\).
1. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
2. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=(x-2)^2(x+1)\) et étudier le signe de \(f(x)\).
b) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
4. a) Calculer \(f''(x)\) et montrer que \(I(1;2)\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
b) Montrer que \(I\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
c) Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) en \(I\).
5. Tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Limite du terme de plus haut degré \(x^3\) :
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) ; \(f(0)=4\), \(f(2)=0\).
3. a) \((x-2)^2(x+1)=\left(x^2-4x+4\right)(x+1)=x^3-3x^2+4\) ✔ ; \((x-2)^2\geq0\) :
[] \(f(x)\leq0\) sur \(]-\infty;-1]\) et \(f(x)\geq0\) sur \([-1;+\infty[\)
b)
[] axe des abscisses : \((-1;0)\) et \((2;0)\) ; axe des ordonnées : \((0;4)\)
4. a) \(f''(x)=6x-6\) s’annule en \(1\) en changeant de signe ; \(f(1)=2\) :
[] \(I(1;2)\) est un point d’inflexion
b) \((\forall x)\ 2-x\in\mathbb{R}\) et \(f(2-x)+f(x)\)
\(=(-x)^2(3-x)+(x-2)^2(x+1)=4=2\times2\)
[] \(I(1;2)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
c) \(f'(1)=-3\) : \(y=-3(x-1)+2\) :
[] \((T):y=-3x+5\)
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) ; \(f(0)=4\), \(f(2)=0\).
3. a) \((x-2)^2(x+1)=\left(x^2-4x+4\right)(x+1)=x^3-3x^2+4\) ✔ ; \((x-2)^2\geq0\) :
[] \(f(x)\leq0\) sur \(]-\infty;-1]\) et \(f(x)\geq0\) sur \([-1;+\infty[\)
b)
[] axe des abscisses : \((-1;0)\) et \((2;0)\) ; axe des ordonnées : \((0;4)\)
4. a) \(f''(x)=6x-6\) s’annule en \(1\) en changeant de signe ; \(f(1)=2\) :
[] \(I(1;2)\) est un point d’inflexion
b) \((\forall x)\ 2-x\in\mathbb{R}\) et \(f(2-x)+f(x)\)
\(=(-x)^2(3-x)+(x-2)^2(x+1)=4=2\times2\)
[] \(I(1;2)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\)
c) \(f'(1)=-3\) : \(y=-3(x-1)+2\) :
[] \((T):y=-3x+5\)