Exercice 1 (6 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube. L’espace est rapporté au repère orthonormé \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\).
1. Donner les coordonnées des points \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\).
2. Montrer que \(x+y+z-1=0\) est une équation du plan \((BDE)\).
3. Déterminer le point d’intersection \(I\) de la droite \((AG)\) et du plan \((BDE)\).
4. Déterminer une équation du plan \((CFH)\) et montrer qu’il est parallèle à \((BDE)\).
1. Donner les coordonnées des points \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\).
2. Montrer que \(x+y+z-1=0\) est une équation du plan \((BDE)\).
3. Déterminer le point d’intersection \(I\) de la droite \((AG)\) et du plan \((BDE)\).
4. Déterminer une équation du plan \((CFH)\) et montrer qu’il est parallèle à \((BDE)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] 1. \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\), \(E(0;0;1)\), \(F(1;0;1)\), \(G(1;1;1)\), \(H(0;1;1)\)
2. \(\overrightarrow{BD}(-1;1;0)\) et \(\overrightarrow{BE}(-1;0;1)\) ne sont pas colinéaires ; \(B\), \(D\), \(E\) vérifient \(x+y+z-1=0\).
[] \((BDE)\ :\ x+y+z-1=0\)
💡 Méthode : un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on remplace la représentation paramétrique d’une droite dans l’équation et on résout en \(t\) ; deux plans sont parallèles \(\iff\) coefficients \((a;b;c)\) proportionnels.
3. \((AG)\ :\ x=t\), \(y=t\), \(z=t\) ; \(3t-1=0\iff t=\dfrac{1}{3}\).
[] \(I\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
4. \(C\), \(F\), \(H\) vérifient \(x+y+z=2\) et \(\overrightarrow{CF}(0;-1;1)\), \(\overrightarrow{CH}(-1;0;1)\) ne sont pas colinéaires.
[] \((CFH)\ :\ x+y+z-2=0\) ; mêmes coefficients \((1;1;1)\) et \(-2\neq-1\) : plans strictement parallèles
2. \(\overrightarrow{BD}(-1;1;0)\) et \(\overrightarrow{BE}(-1;0;1)\) ne sont pas colinéaires ; \(B\), \(D\), \(E\) vérifient \(x+y+z-1=0\).
[] \((BDE)\ :\ x+y+z-1=0\)
💡 Méthode : un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on remplace la représentation paramétrique d’une droite dans l’équation et on résout en \(t\) ; deux plans sont parallèles \(\iff\) coefficients \((a;b;c)\) proportionnels.
3. \((AG)\ :\ x=t\), \(y=t\), \(z=t\) ; \(3t-1=0\iff t=\dfrac{1}{3}\).
[] \(I\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)
4. \(C\), \(F\), \(H\) vérifient \(x+y+z=2\) et \(\overrightarrow{CF}(0;-1;1)\), \(\overrightarrow{CH}(-1;0;1)\) ne sont pas colinéaires.
[] \((CFH)\ :\ x+y+z-2=0\) ; mêmes coefficients \((1;1;1)\) et \(-2\neq-1\) : plans strictement parallèles
Exercice 2 (14 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\).
1. Montrer que \(f\) est paire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)\), interpréter et étudier la position de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y=2\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f''(x)=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}\).
6. Étudier la concavité de \((C_f)\) et déterminer ses points d’inflexion.
7. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
8. Tracer \((C_f)\).
1. Montrer que \(f\) est paire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)\), interpréter et étudier la position de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y=2\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f''(x)=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}\).
6. Étudier la concavité de \((C_f)\) et déterminer ses points d’inflexion.
7. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
8. Tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Condition 1 : \(D_f=\mathbb{R}\) ✔. Condition 2 : \(f(-x)=\dfrac{2(-x)^2}{(-x)^2+1}=f(x)\) ✔.
[] \(f\) est paire
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2\)
\(f(x)-2=\dfrac{-2}{x^2+1}<0\)
[] \(y=2\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\) et \((C_f)\) est en dessous
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (quotient, dénominateur \(>0\)) :
3. \(f'(x)=\dfrac{4x(x^2+1)-2x^2\times2x}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\)
4. \(f'(x)=0\iff x=0\) ; \(f'\) a le signe de \(x\) ; \(f(0)=0\) :
5. \(f''(x)=\dfrac{4(x^2+1)^2-4x\times2(x^2+1)\times2x}{(x^2+1)^4}\)
\(=\dfrac{4\left[(x^2+1)-4x^2\right]}{(x^2+1)^3}\)
\(=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}\)
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
6. \(1-3x^2=0\iff x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) (avec changement de signe) ; \(f\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{1}{2}\).
[] Convexe sur \(\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]\), concave ailleurs ; points d’inflexion \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{1}{2}\right)\)
7. \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{4\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{16}{9}}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
[] \(y=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\dfrac{1}{2}\), soit \(y=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x-\dfrac{1}{4}\)
8. Courbe (symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) :
[] \(f\) est paire
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
2. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2\)
\(f(x)-2=\dfrac{-2}{x^2+1}<0\)
[] \(y=2\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\) et \((C_f)\) est en dessous
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (quotient, dénominateur \(>0\)) :
3. \(f'(x)=\dfrac{4x(x^2+1)-2x^2\times2x}{(x^2+1)^2}\)
\(=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}\)
4. \(f'(x)=0\iff x=0\) ; \(f'\) a le signe de \(x\) ; \(f(0)=0\) :
5. \(f''(x)=\dfrac{4(x^2+1)^2-4x\times2(x^2+1)\times2x}{(x^2+1)^4}\)
\(=\dfrac{4\left[(x^2+1)-4x^2\right]}{(x^2+1)^3}\)
\(=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}\)
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
6. \(1-3x^2=0\iff x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) (avec changement de signe) ; \(f\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{1}{2}\).
[] Convexe sur \(\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right]\), concave ailleurs ; points d’inflexion \(\left(\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{1}{2}\right)\)
7. \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{4\sqrt{3}}{3}}{\dfrac{16}{9}}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)
[] \(y=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\dfrac{1}{2}\), soit \(y=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}x-\dfrac{1}{4}\)
8. Courbe (symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) :