Exercice 1 (6 pts)
L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère \(A(1;1;0)\), \(B(0;2;1)\), \(C(2;0;2)\) et la droite \((D)\ :\ \begin{cases}x=1+t\\y=2t\\z=3-t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb{R}\)).
1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Montrer que \(x+y-2=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)=(ABC)\).
3. Déterminer l’intersection de \((D)\) et \((P)\).
4. Étudier la position relative de \((P)\) et du plan \((Q)\ :\ 2x+2y+z=0\).
1. Montrer que \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.
2. Montrer que \(x+y-2=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)=(ABC)\).
3. Déterminer l’intersection de \((D)\) et \((P)\).
4. Étudier la position relative de \((P)\) et du plan \((Q)\ :\ 2x+2y+z=0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] 1. \(\overrightarrow{AB}(-1;1;1)\) et \(\overrightarrow{AC}(1;-1;2)\) : \(\dfrac{1}{-1}=-1\neq\dfrac{2}{1}\) : non colinéaires, donc \(A\), \(B\), \(C\) non alignés
💡 Méthode : \(M(x;y;z)\in(ABC)\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0\) ; trois vecteurs sont coplanaires \(\iff\) leur déterminant est nul.
2. \(\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3(x-1)+\left(2(y-1)+z\right)+\left(y-1-z\right)\)
\(=3x+3y-6\)
[] \((P)\ :\ x+y-2=0\) (vérification : \(A\), \(B\), \(C\) la satisfont ✔)
💡 Méthode : un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on remplace la représentation paramétrique d’une droite dans l’équation et on résout en \(t\) ; deux plans sont parallèles \(\iff\) coefficients \((a;b;c)\) proportionnels.
3. \((1+t)+2t-2=0\)
\(\iff t=\dfrac{1}{3}\)
[] \((D)\cap(P)=\left\{E\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3}\right)\right\}\)
4. \((1;1;0)\) et \((2;2;1)\) ne sont pas proportionnels.
[] \((P)\) et \((Q)\) sont sécants suivant une droite
💡 Méthode : \(M(x;y;z)\in(ABC)\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=0\) ; trois vecteurs sont coplanaires \(\iff\) leur déterminant est nul.
2. \(\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=3(x-1)+\left(2(y-1)+z\right)+\left(y-1-z\right)\)
\(=3x+3y-6\)
[] \((P)\ :\ x+y-2=0\) (vérification : \(A\), \(B\), \(C\) la satisfont ✔)
💡 Méthode : un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) ; on remplace la représentation paramétrique d’une droite dans l’équation et on résout en \(t\) ; deux plans sont parallèles \(\iff\) coefficients \((a;b;c)\) proportionnels.
3. \((1+t)+2t-2=0\)
\(\iff t=\dfrac{1}{3}\)
[] \((D)\cap(P)=\left\{E\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3}\right)\right\}\)
4. \((1;1;0)\) et \((2;2;1)\) ne sont pas proportionnels.
[] \((P)\) et \((Q)\) sont sécants suivant une droite
Exercice 2 (14 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}-\{-1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+3x}{x+1}\), et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite de \(-1\). Interpréter.
2. a) Vérifier que \(f(x)=x+2-\dfrac{2}{x+1}\).
b) Montrer que la droite \((D)\ :\ y=x+2\) est asymptote oblique à \((C_f)\) et étudier leur position relative.
3. Montrer que \(\Omega(-1;1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
4. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \((C_f)\).
6. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
7. Tracer \((C_f)\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite de \(-1\). Interpréter.
2. a) Vérifier que \(f(x)=x+2-\dfrac{2}{x+1}\).
b) Montrer que la droite \((D)\ :\ y=x+2\) est asymptote oblique à \((C_f)\) et étudier leur position relative.
3. Montrer que \(\Omega(-1;1)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
4. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
5. Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \((C_f)\).
6. Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes du repère.
7. Tracer \((C_f)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), une fonction rationnelle a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\pm\infty\) ; en \(-1\) : calcul direct « \(\dfrac{-2}{0}\) » ; \(x+1>0\) à droite, \(<0\) à gauche.
[] \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\) : \(x=-1\) asymptote verticale
2.a) \(x+2-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{(x+2)(x+1)-2}{x+1}\)
\(=\dfrac{x^2+3x}{x+1}\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
b) \(f(x)-(x+2)=-\dfrac{2}{x+1}\to0\) en \(\pm\infty\) : asymptote oblique.
[] \((C_f)\) au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty;-1[\), en dessous sur \(]-1;+\infty[\)
3. Condition 1 : si \(x\neq-1\) alors \(-2-x\neq-1\) ✔ ; condition 2 :
\(f(-2-x)+f(x)=\left(-x+\dfrac{2}{x+1}\right)+\left(x+2-\dfrac{2}{x+1}\right)\)
\(=2=2\times1\)
[] \(\Omega(-1;1)\) est un centre de symétrie
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) :
4. \(f'(x)=1+\dfrac{2}{(x+1)^2}>0\)
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
5. \(f''(x)=\dfrac{-4}{(x+1)^3}\)
[] Convexe sur \(]-\infty;-1[\), concave sur \(]-1;+\infty[\)
[] 6. \(f(x)=0\iff x(x+3)=0\iff x=0\) ou \(x=-3\) ; et \(f(0)=0\) : points \(O(0;0)\) et \((-3;0)\)
7. Courbe :
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\pm\infty\) ; en \(-1\) : calcul direct « \(\dfrac{-2}{0}\) » ; \(x+1>0\) à droite, \(<0\) à gauche.
[] \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=+\infty\) : \(x=-1\) asymptote verticale
2.a) \(x+2-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{(x+2)(x+1)-2}{x+1}\)
\(=\dfrac{x^2+3x}{x+1}\)
💡 Méthode : \((D)\ :\ y=ax+b\) est asymptote oblique si \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0\) ; la position est donnée par le signe de \(f(x)-(ax+b)\).
b) \(f(x)-(x+2)=-\dfrac{2}{x+1}\to0\) en \(\pm\infty\) : asymptote oblique.
[] \((C_f)\) au-dessus de \((D)\) sur \(]-\infty;-1[\), en dessous sur \(]-1;+\infty[\)
3. Condition 1 : si \(x\neq-1\) alors \(-2-x\neq-1\) ✔ ; condition 2 :
\(f(-2-x)+f(x)=\left(-x+\dfrac{2}{x+1}\right)+\left(x+2-\dfrac{2}{x+1}\right)\)
\(=2=2\times1\)
[] \(\Omega(-1;1)\) est un centre de symétrie
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et \(]-1;+\infty[\) :
4. \(f'(x)=1+\dfrac{2}{(x+1)^2}>0\)
💡 Méthode : \(f''\geq0\) : courbe convexe ; \(f''\leq0\) : concave ; \(f''\) s’annule en changeant de signe ⇒ point d’inflexion.
5. \(f''(x)=\dfrac{-4}{(x+1)^3}\)
[] Convexe sur \(]-\infty;-1[\), concave sur \(]-1;+\infty[\)
[] 6. \(f(x)=0\iff x(x+3)=0\iff x=0\) ou \(x=-3\) ; et \(f(0)=0\) : points \(O(0;0)\) et \((-3;0)\)
7. Courbe :