Exercice 1 (13 pts)
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\) définie sur \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
2. Montrer que \((\forall x\in D)\ f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}\).
b) En déduire que la droite \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(\pm\infty\).
4. Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(2\).
5. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\) de \(h(x)=\sqrt{x}\) et interpréter.
1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
2. Montrer que \((\forall x\in D)\ f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}\).
b) En déduire que la droite \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(\pm\infty\).
4. Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(2\).
5. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\) de \(h(x)=\sqrt{x}\) et interpréter.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\dfrac{x^2}{x}=\pm\infty\) ; \(x^2+3\to4\) : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty\).
2. \(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-\left(x^2+3\right)}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\)
\(f(-1)=\dfrac{4}{-2}=-2\) et \(f(3)=\dfrac{12}{2}=6\).
3. a) \(x+1+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{x^2-1+4}{x-1}=f(x)\) ✔. b) \(f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x-1}\to0\) en \(\pm\infty\) :
[] \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique
4. \(f(2)=7\) et \(f'(2)=\dfrac{(-1)\times3}{1}=-3\) : \(y=-3(x-2)+7\) :
[] \((T):y=-3x+13\)
5. \(\dfrac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty\) :
[] \(h\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; \((C_h)\) admet une demi-tangente verticale en \(O\)
2. \(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-\left(x^2+3\right)}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\)
\(f(-1)=\dfrac{4}{-2}=-2\) et \(f(3)=\dfrac{12}{2}=6\).
3. a) \(x+1+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{x^2-1+4}{x-1}=f(x)\) ✔. b) \(f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x-1}\to0\) en \(\pm\infty\) :
[] \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique
4. \(f(2)=7\) et \(f'(2)=\dfrac{(-1)\times3}{1}=-3\) : \(y=-3(x-2)+7\) :
[] \((T):y=-3x+13\)
5. \(\dfrac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty\) :
[] \(h\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; \((C_h)\) admet une demi-tangente verticale en \(O\)
Exercice 2 (7 pts)
\(ABCD\) est un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([CD]\) et \(G\) le point tel que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}\) et \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}\).
2. En déduire que \(G\) est le milieu de \([IJ]\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\).
4. En déduire que les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont coplanaires.
1. Montrer que \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}\) et \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GJ}\).
2. En déduire que \(G\) est le milieu de \([IJ]\).
3. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\).
4. En déduire que les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont coplanaires.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{GI}\) (car \(I\) milieu de \([AB]\)) ; de même pour \(J\).
2. \(2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\vec{0}\), soit \(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\vec{0}\) :
[] \(G\) est le milieu de \([IJ]\)
3. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}\) et \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}\) ; en additionnant (\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\), \(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}\)) :
[] \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)
[] 4. \(\overrightarrow{IJ}\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) : les trois vecteurs sont coplanaires
2. \(2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GJ}=\vec{0}\), soit \(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{GJ}=\vec{0}\) :
[] \(G\) est le milieu de \([IJ]\)
3. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}\) et \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}\) ; en additionnant (\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\), \(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}\)) :
[] \(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\)
[] 4. \(\overrightarrow{IJ}\) s’écrit comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) : les trois vecteurs sont coplanaires