Exercice 1 (5 pts)
Calculer \(f'(x)\) (en précisant l’ensemble de dérivabilité) dans chacun des cas :
1. \(f(x)=\sin^2x\cos x\) ; 2. \(f(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^2}\) ; 3. \(f(x)=(x-1)\sqrt{x}\) ; 4. \(f(x)=3\sin(2x+1)-\cos^2x\) ; 5. \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+x+1}\)
1. \(f(x)=\sin^2x\cos x\) ; 2. \(f(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^2}\) ; 3. \(f(x)=(x-1)\sqrt{x}\) ; 4. \(f(x)=3\sin(2x+1)-\cos^2x\) ; 5. \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+x+1}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : avant chaque calcul, on justifie la dérivabilité ; règles : \((u^n)'=nu'u^{n-1}\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) (\(u>0\)), \((uv)'=u'v+uv'\).
[] 1. Sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=2\sin x\cos x\times\cos x+\sin^2x\times(-\sin x)=2\sin x\cos^2x-\sin^3x\)
[] 2. Sur \(\mathbb{R}\) (\(x^2+1>0\)) : \(f(x)=(x^2+1)^{-2}\) et \(f'(x)=-2\times2x(x^2+1)^{-3}=\dfrac{-4x}{(x^2+1)^3}\)
3. \(f'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}}\quad(x>0)\)
[] 4. Sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=6\cos(2x+1)+2\sin x\cos x=6\cos(2x+1)+\sin2x\)
5. \(x^2+x+1>0\) (\(\Delta<0\)) : dérivable sur \(\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=\dfrac{2(x^2+x+1)-(2x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\)
\(=\dfrac{-2x^2+2x+3}{(x^2+x+1)^2}\)
[] 1. Sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=2\sin x\cos x\times\cos x+\sin^2x\times(-\sin x)=2\sin x\cos^2x-\sin^3x\)
[] 2. Sur \(\mathbb{R}\) (\(x^2+1>0\)) : \(f(x)=(x^2+1)^{-2}\) et \(f'(x)=-2\times2x(x^2+1)^{-3}=\dfrac{-4x}{(x^2+1)^3}\)
3. \(f'(x)=\sqrt{x}+\dfrac{x-1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{3x-1}{2\sqrt{x}}\quad(x>0)\)
[] 4. Sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=6\cos(2x+1)+2\sin x\cos x=6\cos(2x+1)+\sin2x\)
5. \(x^2+x+1>0\) (\(\Delta<0\)) : dérivable sur \(\mathbb{R}\) :
\(f'(x)=\dfrac{2(x^2+x+1)-(2x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}\)
\(=\dfrac{-2x^2+2x+3}{(x^2+x+1)^2}\)
Exercice 2 (8 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-2;2]\) par \(f(x)=x^3-3x+1\).
1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-2;2]\).
3. En déduire que \((\forall x\in[-2;2])\ -1\leq f(x)\leq3\).
4. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
5. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((T)\).
6. Donner une valeur approchée de \(f(1{,}02)\).
1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-2;2]\).
3. En déduire que \((\forall x\in[-2;2])\ -1\leq f(x)\leq3\).
4. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
5. Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((T)\).
6. Donner une valeur approchée de \(f(1{,}02)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
Dérivabilité : \(f\) est un polynôme, dérivable sur \([-2;2]\) :
[] 1. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
2. \(f'(x)=0\iff x=-1\) ou \(x=1\) ; \(f(-2)=-1\), \(f(-1)=3\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=3\) :
[] 3. La valeur minimale de \(f\) sur \([-2;2]\) est \(-1\) et la valeur maximale est \(3\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 4. \(f(0)=1\) et \(f'(0)=-3\) : \((T)\ :\ y=-3x+1\)
5. \(f(x)-(-3x+1)=x^3\)
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((T)\) sur \(]0;2]\), en dessous sur \([-2;0[\) ; ils se coupent en \((0;1)\)
[] 6. \(f'(1)=0\) : \(f(1{,}02)\approx f(1)+0\times0{,}02=-1\)
[] 1. \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
2. \(f'(x)=0\iff x=-1\) ou \(x=1\) ; \(f(-2)=-1\), \(f(-1)=3\), \(f(1)=-1\), \(f(2)=3\) :
[] 3. La valeur minimale de \(f\) sur \([-2;2]\) est \(-1\) et la valeur maximale est \(3\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 4. \(f(0)=1\) et \(f'(0)=-3\) : \((T)\ :\ y=-3x+1\)
5. \(f(x)-(-3x+1)=x^3\)
[] \((C_f)\) est au-dessus de \((T)\) sur \(]0;2]\), en dessous sur \([-2;0[\) ; ils se coupent en \((0;1)\)
[] 6. \(f'(1)=0\) : \(f(1{,}02)\approx f(1)+0\times0{,}02=-1\)
Exercice 3 (7 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube (\(ABCD\) et \(EFGH\) deux faces opposées, avec \((AE)\), \((BF)\), \((CG)\), \((DH)\) arêtes parallèles). \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([GH]\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. En déduire que \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BG}\) et que \(IJGB\) est un parallélogramme.
3. Les points \(I\), \(J\), \(G\), \(B\) sont-ils coplanaires ?
4. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(I\), \(J\), \(G\) et \(C\).
5. Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ?
1. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. En déduire que \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BG}\) et que \(IJGB\) est un parallélogramme.
3. Les points \(I\), \(J\), \(G\), \(B\) sont-ils coplanaires ?
4. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(I\), \(J\), \(G\) et \(C\).
5. Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ?
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : relation de Chasles et règles de calcul vectoriel (valables dans l’espace).
1. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HJ}\)
\(=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\)
(car \(\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\))
2. \(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{IJ}\)
[] \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BG}\) : \(IJGB\) est un parallélogramme
[] 3. Un parallélogramme est une figure plane : \(I\), \(J\), \(G\), \(B\) sont coplanaires
[] 4. \(I\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)\), \(J\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)\), \(G(1;1;1)\), \(C(1;1;0)\)
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
5. \(\overrightarrow{IJ}(0;1;1)\), \(\overrightarrow{IC}\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)\), \(\overrightarrow{AE}(0;0;1)\) ; \(a\overrightarrow{IC}+b\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{IJ}\) donne \(\dfrac{a}{2}=0\) et \(a=1\) : impossible.
[!] \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{AE}\) n’étant pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires
1. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HJ}\)
\(=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\)
(car \(\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{HJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\))
2. \(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{IJ}\)
[] \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BG}\) : \(IJGB\) est un parallélogramme
[] 3. Un parallélogramme est une figure plane : \(I\), \(J\), \(G\), \(B\) sont coplanaires
[] 4. \(I\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)\), \(J\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)\), \(G(1;1;1)\), \(C(1;1;0)\)
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
5. \(\overrightarrow{IJ}(0;1;1)\), \(\overrightarrow{IC}\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)\), \(\overrightarrow{AE}(0;0;1)\) ; \(a\overrightarrow{IC}+b\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{IJ}\) donne \(\dfrac{a}{2}=0\) et \(a=1\) : impossible.
[!] \(\overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{AE}\) n’étant pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires