Exercice 1 (5 pts)
Préciser l’intervalle de dérivabilité puis calculer \(f'(x)\) dans chacun des cas :
1. \(f(x)=(3x-2)^4\) ; 2. \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\) ; 3. \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) ; 4. \(f(x)=x\cos x\) ; 5. \(f(x)=\tan x+x\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\)
1. \(f(x)=(3x-2)^4\) ; 2. \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\) ; 3. \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) ; 4. \(f(x)=x\cos x\) ; 5. \(f(x)=\tan x+x\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right[\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : avant chaque calcul, on justifie la dérivabilité ; règles : \((u^n)'=nu'u^{n-1}\), \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) (\(u>0\)), \((uv)'=u'v+uv'\).
[] 1. Polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=4\times3(3x-2)^3=12(3x-2)^3\)
2. Dérivable sur \(\mathbb{R}-\{-1;1\}\) (quotient, dénominateur non nul) :
\(f'(x)=\dfrac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\times2x}{(x^2-1)^2}\)
\(=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}\)
[] 3. \(4-x^2>0\iff x\in]-2;2[\) : \(f'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\) sur \(]-2;2[\)
[] 4. Produit, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=\cos x-x\sin x\)
[] 5. \(f'(x)=1+\tan^2x+1=2+\tan^2x\)
[] 1. Polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=4\times3(3x-2)^3=12(3x-2)^3\)
2. Dérivable sur \(\mathbb{R}-\{-1;1\}\) (quotient, dénominateur non nul) :
\(f'(x)=\dfrac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\times2x}{(x^2-1)^2}\)
\(=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}\)
[] 3. \(4-x^2>0\iff x\in]-2;2[\) : \(f'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\) sur \(]-2;2[\)
[] 4. Produit, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=\cos x-x\sin x\)
[] 5. \(f'(x)=1+\tan^2x+1=2+\tan^2x\)
Exercice 2 (8 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}-\{-1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+4}{x+1}\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite de \(-1\).
2. Montrer que \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}\).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
5. Montrer que \((\forall x>-1)\ f(x)\geq3\).
6. Donner une valeur approchée de \(f(0{,}01)\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite de \(-1\).
2. Montrer que \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}\).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
5. Montrer que \((\forall x>-1)\ f(x)\geq3\).
6. Donner une valeur approchée de \(f(0{,}01)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Propriété du cours en \(\pm\infty\) : \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\pm\infty\). En \(-1\) : calcul direct « \(\dfrac{4}{0}\) ».
[] \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\) (fonction rationnelle, dénominateur non nul) :
2. \(f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
3. \(f'(x)=0\iff x=-3\) ou \(x=1\) ; \(f(-3)=\dfrac{10}{-2}=-5\) et \(f(1)=\dfrac{6}{2}=3\) :
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 4. \(f(0)=4\) et \(f'(0)=-3\) : \((T)\ :\ y=-3x+4\)
[] 5. Sur \(]-1;+\infty[\), la valeur minimale de \(f\) est \(f(1)=3\) : \(f(x)\geq3\)
[] 6. \(f(0{,}01)\approx f(0)+f'(0)\times0{,}01=4-0{,}03=3{,}97\)
[] \(\lim\limits_{x\to-1^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\) (fonction rationnelle, dénominateur non nul) :
2. \(f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}\)
\(=\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
3. \(f'(x)=0\iff x=-3\) ou \(x=1\) ; \(f(-3)=\dfrac{10}{-2}=-5\) et \(f(1)=\dfrac{6}{2}=3\) :
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 4. \(f(0)=4\) et \(f'(0)=-3\) : \((T)\ :\ y=-3x+4\)
[] 5. Sur \(]-1;+\infty[\), la valeur minimale de \(f\) est \(f(1)=3\) : \(f(x)\geq3\)
[] 6. \(f(0{,}01)\approx f(0)+f'(0)\times0{,}01=4-0{,}03=3{,}97\)
Exercice 3 (7 pts)
\(ABCD\) est un tétraèdre, \(G\) le centre de gravité du triangle \(BCD\) et \(K\) le milieu de \([BC]\). Soient \(M\) et \(N\) les points tels que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). Que peut-on dire des droites \((MN)\) et \((BC)\) ?
2. Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\).
3. Justifier que \(\overrightarrow{DG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DK}\).
4. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\), donner les coordonnées de \(M\), \(N\), \(G\) et \(K\).
5. Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont-ils coplanaires ?
1. Montrer que \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). Que peut-on dire des droites \((MN)\) et \((BC)\) ?
2. Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\).
3. Justifier que \(\overrightarrow{DG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DK}\).
4. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\), donner les coordonnées de \(M\), \(N\), \(G\) et \(K\).
5. Les vecteurs \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{MG}\) et \(\overrightarrow{AD}\) sont-ils coplanaires ?
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : relation de Chasles et règles de calcul vectoriel (valables dans l’espace).
1. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\)
\(=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
[] \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires : \((MN)\parallel(BC)\)
2. \(G\) centre de gravité de \(BCD\) : \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\) ; avec Chasles \(\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\)… :
\(3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{0}\)
\(\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\)
[] 3. Dans le triangle \(BCD\), \(G\) est sur la médiane \([DK]\) aux deux tiers depuis \(D\) : \(\overrightarrow{DG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DK}\)
[] 4. \(M\left(\dfrac{2}{3};0;0\right)\), \(N\left(0;\dfrac{2}{3};0\right)\), \(G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\), \(K\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
5. \(\overrightarrow{MN}\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};0\right)\), \(\overrightarrow{MG}\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\), \(\overrightarrow{AD}(0;0;1)\) : on remarque \(\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\).
[] Les trois vecteurs sont coplanaires
1. \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\)
\(=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
[] \(\overrightarrow{MN}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires : \((MN)\parallel(BC)\)
2. \(G\) centre de gravité de \(BCD\) : \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\) ; avec Chasles \(\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\)… :
\(3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\vec{0}\)
\(\iff\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)\)
[] 3. Dans le triangle \(BCD\), \(G\) est sur la médiane \([DK]\) aux deux tiers depuis \(D\) : \(\overrightarrow{DG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DK}\)
[] 4. \(M\left(\dfrac{2}{3};0;0\right)\), \(N\left(0;\dfrac{2}{3};0\right)\), \(G\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\), \(K\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)\)
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
5. \(\overrightarrow{MN}\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};0\right)\), \(\overrightarrow{MG}\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)\), \(\overrightarrow{AD}(0;0;1)\) : on remarque \(\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MN}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\).
[] Les trois vecteurs sont coplanaires