Exercice 1 (13 pts)
1. Calculer la dérivée de chacune des fonctions :
\(f_1(x)=\left(x^2+1\right)^3\) ; \(f_2(x)=\sqrt{2x+3}\) ; \(f_3(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}\) ; \(f_4(x)=x\cos x\).
2. Soit \(f(x)=x^3-3x+1\).
a) Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
b) Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
3. Soit \(g(x)=x|x|\). Étudier la dérivabilité de \(g\) en \(0\).
\(f_1(x)=\left(x^2+1\right)^3\) ; \(f_2(x)=\sqrt{2x+3}\) ; \(f_3(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}\) ; \(f_4(x)=x\cos x\).
2. Soit \(f(x)=x^3-3x+1\).
a) Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
b) Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(0\).
3. Soit \(g(x)=x|x|\). Étudier la dérivabilité de \(g\) en \(0\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(f_1'(x)=3\times2x\left(x^2+1\right)^2=6x\left(x^2+1\right)^2\) ; \(f_2'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+3}}\) \(\left(x>-\dfrac{3}{2}\right)\).
\(f_3'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{5}{(x+2)^2}\) ; \(f_4'(x)=\cos x-x\sin x\).
2. a) \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\) ; \(f(-1)=3\), \(f(1)=-1\).
b) \(f(0)=1\) et \(f'(0)=-3\) :
[] \((T):y=-3x+1\)
3. \(\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=|x|\to0\) :
[] \(g\) est dérivable en \(0\) et \(g'(0)=0\)
\(f_3'(x)=\dfrac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{5}{(x+2)^2}\) ; \(f_4'(x)=\cos x-x\sin x\).
2. a) \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\) ; \(f(-1)=3\), \(f(1)=-1\).
b) \(f(0)=1\) et \(f'(0)=-3\) :
[] \((T):y=-3x+1\)
3. \(\dfrac{g(x)-g(0)}{x-0}=|x|\to0\) :
[] \(g\) est dérivable en \(0\) et \(g'(0)=0\)
Exercice 2 (7 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube. \(I\) est le milieu de \([FG]\) et \(J\) le milieu de \([GH]\).
1. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{BH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) et en déduire que \((IJ)\parallel(BD)\).
3. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(G\), \(I\) et \(J\).
4. Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.
1. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{BH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) et en déduire que \((IJ)\parallel(BD)\).
3. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(G\), \(I\) et \(J\).
4. Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\) ; \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. Théorème des milieux dans \(FGH\) : \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) ; or \(\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}\) (\(BDHF\) rectangle) :
[] \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\), donc \((IJ)\parallel(BD)\)
3.
[] \(G(1;1;1)\) ; \(I\left(1;\dfrac{1}{2};1\right)\) ; \(J\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)\)
4. Supposons \(\overrightarrow{AE}=\alpha\overrightarrow{AI}+\beta\overrightarrow{AJ}\) : \(\alpha+\dfrac{\beta}{2}=0\), \(\dfrac{\alpha}{2}+\beta=0\) donnent \(\alpha=\beta=0\), mais alors \(\overrightarrow{AE}=\vec{0}\) : impossible.
[] \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ}\) n’étant pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires
2. Théorème des milieux dans \(FGH\) : \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) ; or \(\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}\) (\(BDHF\) rectangle) :
[] \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\), donc \((IJ)\parallel(BD)\)
3.
[] \(G(1;1;1)\) ; \(I\left(1;\dfrac{1}{2};1\right)\) ; \(J\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)\)
4. Supposons \(\overrightarrow{AE}=\alpha\overrightarrow{AI}+\beta\overrightarrow{AJ}\) : \(\alpha+\dfrac{\beta}{2}=0\), \(\dfrac{\alpha}{2}+\beta=0\) donnent \(\alpha=\beta=0\), mais alors \(\overrightarrow{AE}=\vec{0}\) : impossible.
[] \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ}\) n’étant pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires