Exercice 1 (13 pts)
Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+3}{x-1}\) définie sur \(D=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
2. Montrer que \((\forall x\in D)\ f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}\).
b) En déduire que la droite \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(\pm\infty\).
4. Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(2\).
5. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\) de \(h(x)=\sqrt{x}\) et interpréter.
1. Calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
2. Montrer que \((\forall x\in D)\ f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
3. a) Vérifier que \(f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}\).
b) En déduire que la droite \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(\pm\infty\).
4. Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(2\).
5. Étudier la dérivabilité à droite en \(0\) de \(h(x)=\sqrt{x}\) et interpréter.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\dfrac{x^2}{x}=\pm\infty\) ; \(x^2+3\to4\) : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty\).
2. \(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-\left(x^2+3\right)}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\)
\(f(-1)=\dfrac{4}{-2}=-2\) et \(f(3)=\dfrac{12}{2}=6\).
3. a) \(x+1+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{x^2-1+4}{x-1}=f(x)\) ✔. b) \(f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x-1}\to0\) en \(\pm\infty\) :
[] \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique
4. \(f(2)=7\) et \(f'(2)=\dfrac{(-1)\times3}{1}=-3\) : \(y=-3(x-2)+7\) :
[] \((T):y=-3x+13\)
5. \(\dfrac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty\) :
[] \(h\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; \((C_h)\) admet une demi-tangente verticale en \(O\)
2. \(f'(x)=\dfrac{2x(x-1)-\left(x^2+3\right)}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\)
\(f(-1)=\dfrac{4}{-2}=-2\) et \(f(3)=\dfrac{12}{2}=6\).
3. a) \(x+1+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{x^2-1+4}{x-1}=f(x)\) ✔. b) \(f(x)-(x+1)=\dfrac{4}{x-1}\to0\) en \(\pm\infty\) :
[] \((\Delta):y=x+1\) est asymptote oblique
4. \(f(2)=7\) et \(f'(2)=\dfrac{(-1)\times3}{1}=-3\) : \(y=-3(x-2)+7\) :
[] \((T):y=-3x+13\)
5. \(\dfrac{\sqrt{x}-0}{x-0}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\to+\infty\) :
[] \(h\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; \((C_h)\) admet une demi-tangente verticale en \(O\)
Exercice 2 (7 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube. \(I\) est le milieu de \([FG]\) et \(J\) le milieu de \([GH]\).
1. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{BH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) et en déduire que \((IJ)\parallel(BD)\).
3. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(G\), \(I\) et \(J\).
4. Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.
1. Exprimer \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{BH}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AE}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) et en déduire que \((IJ)\parallel(BD)\).
3. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(G\), \(I\) et \(J\).
4. Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont-ils coplanaires ? Justifier.
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\) ; \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. Théorème des milieux dans \(FGH\) : \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) ; or \(\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}\) (\(BDHF\) rectangle) :
[] \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\), donc \((IJ)\parallel(BD)\)
3.
[] \(G(1;1;1)\) ; \(I\left(1;\dfrac{1}{2};1\right)\) ; \(J\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)\)
4. Supposons \(\overrightarrow{AE}=\alpha\overrightarrow{AI}+\beta\overrightarrow{AJ}\) : \(\alpha+\dfrac{\beta}{2}=0\), \(\dfrac{\alpha}{2}+\beta=0\) donnent \(\alpha=\beta=0\), mais alors \(\overrightarrow{AE}=\vec{0}\) : impossible.
[] \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ}\) n’étant pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires
2. Théorème des milieux dans \(FGH\) : \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{FH}\) ; or \(\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}\) (\(BDHF\) rectangle) :
[] \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\), donc \((IJ)\parallel(BD)\)
3.
[] \(G(1;1;1)\) ; \(I\left(1;\dfrac{1}{2};1\right)\) ; \(J\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)\)
4. Supposons \(\overrightarrow{AE}=\alpha\overrightarrow{AI}+\beta\overrightarrow{AJ}\) : \(\alpha+\dfrac{\beta}{2}=0\), \(\dfrac{\alpha}{2}+\beta=0\) donnent \(\alpha=\beta=0\), mais alors \(\overrightarrow{AE}=\vec{0}\) : impossible.
[] \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AJ}\) n’étant pas colinéaires, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires