Exercice 1 (5 pts)
Pour chacune des fonctions suivantes, préciser l’intervalle de dérivabilité et calculer \(f'(x)\) :
1. \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) ; 2. \(f(x)=(x^2+1)^3\) ; 3. \(f(x)=x\sqrt{x}\) ; 4. \(f(x)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) ; 5. \(f(x)=\cos^2x\)
1. \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\) ; 2. \(f(x)=(x^2+1)^3\) ; 3. \(f(x)=x\sqrt{x}\) ; 4. \(f(x)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) ; 5. \(f(x)=\cos^2x\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) ; \((u^n)'=nu'u^{n-1}\) ; \((uv)'=u'v+uv'\) ; \((\sin(ax+b))'=a\cos(ax+b)\).
1. Dérivable sur \(\mathbb{R}-\{1\}\) (quotient, dénominateur non nul) :
\(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\)
[] 2. Polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=3\times2x(x^2+1)^2=6x(x^2+1)^2\)
3. \(\sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) ; produit :
\(f'(x)=\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\)
[] 4. Dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=3\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
[] 5. Dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=2\times(-\sin x)\cos x=-\sin2x\)
1. Dérivable sur \(\mathbb{R}-\{1\}\) (quotient, dénominateur non nul) :
\(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2}\)
\(=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\)
[] 2. Polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=3\times2x(x^2+1)^2=6x(x^2+1)^2\)
3. \(\sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) ; produit :
\(f'(x)=\sqrt{x}+x\times\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{2}=\dfrac{3}{2}\sqrt{x}\)
[] 4. Dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=3\cos\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
[] 5. Dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \(f'(x)=2\times(-\sin x)\cos x=-\sin2x\)
Exercice 2 (8 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-3x^2+2\).
1. En utilisant le taux d’accroissement, étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\).
2. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\) (avec les limites en \(\pm\infty\)).
4. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
5. Donner une valeur approchée de \(f(1{,}01)\).
6. Montrer que \((\forall x\geq0)\ f(x)\geq-2\).
1. En utilisant le taux d’accroissement, étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\).
2. Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\) (avec les limites en \(\pm\infty\)).
4. Déterminer l’équation de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
5. Donner une valeur approchée de \(f(1{,}01)\).
6. Montrer que \((\forall x\geq0)\ f(x)\geq-2\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(a)\).
1. \(f(1)=0\) et \(x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)\) :
\(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=x^2-2x-2\)
\(\to1-2-2=-3\)
[] \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=-3\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est un polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
[] 2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
3. \(f'(x)=0\)
\(\iff3x(x-2)=0\)
\(\iff x=0\) ou \(x=2\) ; \(f(0)=2\), \(f(2)=8-12+2=-2\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^3=\pm\infty\).
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 4. \((T)\ :\ y=-3(x-1)+0\), soit \(y=-3x+3\)
[] 5. \(f(1{,}01)\approx f(1)+f'(1)\times0{,}01=-0{,}03\)
6. Sur \([0;+\infty[\), d’après le tableau, la valeur minimale de \(f\) est \(f(2)=-2\) (et \(f(0)=2>-2\)).
[] \((\forall x\geq0)\ f(x)\geq-2\)
1. \(f(1)=0\) et \(x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)\) :
\(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=x^2-2x-2\)
\(\to1-2-2=-3\)
[] \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=-3\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est un polynôme. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
[] 2. \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
3. \(f'(x)=0\)
\(\iff3x(x-2)=0\)
\(\iff x=0\) ou \(x=2\) ; \(f(0)=2\), \(f(2)=8-12+2=-2\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x^3=\pm\infty\).
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 4. \((T)\ :\ y=-3(x-1)+0\), soit \(y=-3x+3\)
[] 5. \(f(1{,}01)\approx f(1)+f'(1)\times0{,}01=-0{,}03\)
6. Sur \([0;+\infty[\), d’après le tableau, la valeur minimale de \(f\) est \(f(2)=-2\) (et \(f(0)=2>-2\)).
[] \((\forall x\geq0)\ f(x)\geq-2\)
Exercice 3 (7 pts)
\(ABCD\) est un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([CD]\), et \(E\), \(F\), \(K\) les points définis par \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\).
3. Montrer que \((EF)\parallel(BC)\).
4. Exprimer \(\overrightarrow{EK}\) en fonction de \(\overrightarrow{BD}\), et en déduire que le plan \((EFK)\) est parallèle au plan \((BCD)\).
5. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\), donner les coordonnées de \(I\), \(J\) et \(\overrightarrow{IJ}\), et vérifier le résultat de la question 2.
1. Montrer que \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\).
2. Montrer que \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\).
3. Montrer que \((EF)\parallel(BC)\).
4. Exprimer \(\overrightarrow{EK}\) en fonction de \(\overrightarrow{BD}\), et en déduire que le plan \((EFK)\) est parallèle au plan \((BCD)\).
5. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\), donner les coordonnées de \(I\), \(J\) et \(\overrightarrow{IJ}\), et vérifier le résultat de la question 2.
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : relation de Chasles et règles de calcul vectoriel (valables dans l’espace).
1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)
2. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}\) et \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}\) ; on additionne :
\(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\) car \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\) et \(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}\).
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
3. \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
[] \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{BC}\) colinéaires : \((EF)\parallel(BC)\)
4. \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}\)
\(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EK}\) (non colinéaires) dirigent \((EFK)\) ; ils sont colinéaires à \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BD}\) qui dirigent \((BCD)\).
[] \((EFK)\parallel(BCD)\)
5. \(B(1;0;0)\), \(C(0;1;0)\), \(D(0;0;1)\) ; \(I\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)\), \(J\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) ; \(\overrightarrow{IJ}\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\).
[] \(\overrightarrow{AD}(0;0;1)\) et \(\overrightarrow{BC}(-1;1;0)\) : \(\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)=\overrightarrow{IJ}\) ✔
1. \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)
2. \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}\) et \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}\) ; on additionne :
\(2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\) car \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}\) et \(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{CJ}=\vec{0}\).
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
3. \(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
[] \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{BC}\) colinéaires : \((EF)\parallel(BC)\)
4. \(\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AE}\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}\)
\(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EK}\) (non colinéaires) dirigent \((EFK)\) ; ils sont colinéaires à \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BD}\) qui dirigent \((BCD)\).
[] \((EFK)\parallel(BCD)\)
5. \(B(1;0;0)\), \(C(0;1;0)\), \(D(0;0;1)\) ; \(I\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)\), \(J\left(0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) ; \(\overrightarrow{IJ}\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\).
[] \(\overrightarrow{AD}(0;0;1)\) et \(\overrightarrow{BC}(-1;1;0)\) : \(\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\left(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)=\overrightarrow{IJ}\) ✔