Exercice 1 (6 pts)
On considère la fonction \(f\) définie par : \(f(x)=x^2-2x\) si \(x\leq2\) et \(f(x)=\sqrt{x-2}\) si \(x>2\).
1. Montrer que \(f\) est continue en \(2\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(2\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\).
4. Interpréter géométriquement les résultats.
5. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
1. Montrer que \(f\) est continue en \(2\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(2\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\).
4. Interpréter géométriquement les résultats.
5. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. \(f(2)=4-4=0\) ; calcul direct : \(\lim\limits_{x\to2^+}\sqrt{x-2}=0\) et \(\lim\limits_{x\to2^-}(x^2-2x)=0\).
[] \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)\) : \(f\) est continue en \(2\)
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(a)\).
2. \(x<2\ :\ \dfrac{x^2-2x}{x-2}=x\to2\)
[] \(f\) est dérivable à gauche en \(2\) et \(f'_g(2)=2\)
3. \(x>2\ :\ \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-2}=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\to+\infty\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\)
4. Au point \(A(2;0)\) : demi-tangente de coefficient directeur \(2\) à gauche, et demi-tangente verticale (vers le haut) à droite ; \(A\) est un point anguleux.
[] 5. Sur \(]-\infty;2[\) : \(f'(x)=2x-2\) ; sur \(]2;+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}\)
[] \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)\) : \(f\) est continue en \(2\)
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(a)\).
2. \(x<2\ :\ \dfrac{x^2-2x}{x-2}=x\to2\)
[] \(f\) est dérivable à gauche en \(2\) et \(f'_g(2)=2\)
3. \(x>2\ :\ \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-2}=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}\to+\infty\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(2\)
4. Au point \(A(2;0)\) : demi-tangente de coefficient directeur \(2\) à gauche, et demi-tangente verticale (vers le haut) à droite ; \(A\) est un point anguleux.
[] 5. Sur \(]-\infty;2[\) : \(f'(x)=2x-2\) ; sur \(]2;+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}\)
Exercice 2 (8 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=x+\dfrac{4}{x}\).
1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*)\ f'(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2}\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. En déduire que \((\forall x>0)\ x+\dfrac{4}{x}\geq4\).
6. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
1. Montrer que \(f\) est impaire.
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\).
3. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R}^*)\ f'(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2}\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).
5. En déduire que \((\forall x>0)\ x+\dfrac{4}{x}\geq4\).
6. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. Condition 1 : si \(x\in\mathbb{R}^*\) alors \(-x\in\mathbb{R}^*\) ✔. Condition 2 : \(f(-x)=-x-\dfrac{4}{x}=-f(x)\) ✔.
[] \(f\) est impaire
2. Calcul direct : en \(0^+\), \(\dfrac{4}{x}\to+\infty\) ; en \(0^-\), \(\dfrac{4}{x}\to-\infty\) ; en \(\pm\infty\), \(\dfrac{4}{x}\to0\) (sommes).
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) (somme de fonctions dérivables). Pour tout \(x\neq0\) :
3. \(f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^2-4}{x^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
4. \(f'(x)=0\iff x^2=4\iff x=-2\) ou \(x=2\) ; \(f(2)=4\) et \(f(-2)=-4\).
[] 5. Sur \(]0;+\infty[\), la valeur minimale de \(f\) est \(f(2)=4\) : \(x+\dfrac{4}{x}\geq4\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 6. \(f(1)=5\) et \(f'(1)=-3\) : \(y=-3(x-1)+5\), soit \(y=-3x+8\)
[] \(f\) est impaire
2. Calcul direct : en \(0^+\), \(\dfrac{4}{x}\to+\infty\) ; en \(0^-\), \(\dfrac{4}{x}\to-\infty\) ; en \(\pm\infty\), \(\dfrac{4}{x}\to0\) (sommes).
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) (somme de fonctions dérivables). Pour tout \(x\neq0\) :
3. \(f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}\)
\(=\dfrac{x^2-4}{x^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
4. \(f'(x)=0\iff x^2=4\iff x=-2\) ou \(x=2\) ; \(f(2)=4\) et \(f(-2)=-4\).
[] 5. Sur \(]0;+\infty[\), la valeur minimale de \(f\) est \(f(2)=4\) : \(x+\dfrac{4}{x}\geq4\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 6. \(f(1)=5\) et \(f'(1)=-3\) : \(y=-3(x-1)+5\), soit \(y=-3x+8\)
Exercice 3 (6 pts)
\(ABCDEFGH\) est un cube (\(ABCD\) et \(EFGH\) deux faces opposées, avec \((AE)\), \((BF)\), \((CG)\), \((DH)\) arêtes parallèles).
1. Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. Soit \(I\) le centre de la face \(EFGH\). Montrer que \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\).
3. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont coplanaires.
4. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(C\), \(F\), \(G\) et \(H\), puis vérifier que \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AG}\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. Soit \(I\) le centre de la face \(EFGH\). Montrer que \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\).
3. Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{AH}\) sont coplanaires.
4. Dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\), donner les coordonnées de \(C\), \(F\), \(G\) et \(H\), puis vérifier que \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AG}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : relation de Chasles et règles de calcul vectoriel (valables dans l’espace).
1. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\)
(car \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}\))
2. \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}\)
\(=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}\)
\(=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)
(\(I\) milieu de \([EG]\) et \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\))
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
3. \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}\).
[] \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AG}\), \(\overrightarrow{AH}\) sont coplanaires
4. \(C(1;1;0)\), \(F(1;0;1)\), \(G(1;1;1)\), \(H(0;1;1)\).
[] \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH}\) a pour coordonnées \((2;2;2)\), et \(2\overrightarrow{AG}(2;2;2)\) ✔
1. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\)
(car \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AE}\))
2. \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}\)
\(=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}\)
\(=\overrightarrow{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\)
(\(I\) milieu de \([EG]\) et \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\))
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
3. \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}\).
[] \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AG}\), \(\overrightarrow{AH}\) sont coplanaires
4. \(C(1;1;0)\), \(F(1;0;1)\), \(G(1;1;1)\), \(H(0;1;1)\).
[] \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH}\) a pour coordonnées \((2;2;2)\), et \(2\overrightarrow{AG}(2;2;2)\) ✔