Exercice 1 (5 pts)
Soit \(f\) une fonction numérique d’une variable réelle ; calculer \(f'(x)\) sur l’intervalle \(I\) dans chacun des cas suivants :
1. \(f(x)=\sqrt{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+11x-13\) ; \(I=\mathbb{R}\)
2. \(f(x)=(x^2-4x)\sqrt{x}\) ; \(I=]0;+\infty[\)
3. \(f(x)=\sqrt{2x^2-3x+5}\) ; \(I=\mathbb{R}\)
4. \(f(x)=\dfrac{1}{2+\cos x}\) ; \(I=\mathbb{R}\)
5. \(f(x)=4\cos2x-6\sin3x\) ; \(I=\mathbb{R}\)
1. \(f(x)=\sqrt{3}x^3-\dfrac{5}{2}x^2+11x-13\) ; \(I=\mathbb{R}\)
2. \(f(x)=(x^2-4x)\sqrt{x}\) ; \(I=]0;+\infty[\)
3. \(f(x)=\sqrt{2x^2-3x+5}\) ; \(I=\mathbb{R}\)
4. \(f(x)=\dfrac{1}{2+\cos x}\) ; \(I=\mathbb{R}\)
5. \(f(x)=4\cos2x-6\sin3x\) ; \(I=\mathbb{R}\)
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : avant chaque calcul, on justifie la dérivabilité sur \(I\), puis on applique les règles : \((uv)'=u'v+uv'\), \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) (\(u>0\)), \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}\).
[] 1. Polynôme : \(f'(x)=3\sqrt{3}x^2-5x+11\)
2. Produit de fonctions dérivables sur \(]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=(2x-4)\sqrt{x}+\dfrac{x^2-4x}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{2x(2x-4)+x^2-4x}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{5x^2-12x}{2\sqrt{x}}\)
3. \(u(x)=2x^2-3x+5\) : \(\Delta=9-40<0\) donc \(u(x)>0\) sur \(\mathbb{R}\) ; \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
[] \(f'(x)=\dfrac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x+5}}\)
4. \(2+\cos x\geq1>0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=-\dfrac{-\sin x}{(2+\cos x)^2}\).
[] \(f'(x)=\dfrac{\sin x}{(2+\cos x)^2}\)
[] 5. \(f'(x)=-8\sin2x-18\cos3x\)
[] 1. Polynôme : \(f'(x)=3\sqrt{3}x^2-5x+11\)
2. Produit de fonctions dérivables sur \(]0;+\infty[\) :
\(f'(x)=(2x-4)\sqrt{x}+\dfrac{x^2-4x}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{2x(2x-4)+x^2-4x}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{5x^2-12x}{2\sqrt{x}}\)
3. \(u(x)=2x^2-3x+5\) : \(\Delta=9-40<0\) donc \(u(x)>0\) sur \(\mathbb{R}\) ; \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
[] \(f'(x)=\dfrac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x+5}}\)
4. \(2+\cos x\geq1>0\) : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=-\dfrac{-\sin x}{(2+\cos x)^2}\).
[] \(f'(x)=\dfrac{\sin x}{(2+\cos x)^2}\)
[] 5. \(f'(x)=-8\sin2x-18\cos3x\)
Exercice 2 (5.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=\sqrt{x-3}\) si \(x>3\) et \(f(x)=x^2-x-6\) si \(x\leq3\), et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(3\).
b) Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu ci-dessus.
2. a) Montrer que \(f\) est dérivable en \(4\) et que \(f'(4)=\dfrac{1}{2}\) ; donner une interprétation géométrique de ce résultat.
b) Donner une approximation du nombre \(f(3{,}99)\).
1. a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(3\).
b) Donner une interprétation géométrique du résultat obtenu ci-dessus.
2. a) Montrer que \(f\) est dérivable en \(4\) et que \(f'(4)=\dfrac{1}{2}\) ; donner une interprétation géométrique de ce résultat.
b) Donner une approximation du nombre \(f(3{,}99)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(a)\).
1.a) \(f(3)=9-3-6=0\).
\(x>3\ :\ \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\to+\infty\)
\(x<3\ :\ \dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}\)
\(=x+2\to5\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(3\) ; \(f\) est dérivable à gauche en \(3\) et \(f'_g(3)=5\)
b) Au point \(A(3;0)\) : demi-tangente verticale à droite (dirigée vers le haut) et demi-tangente de coefficient directeur \(5\) à gauche.
2.a) \(\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
[] \(f'(4)=\dfrac{1}{2}\) : \((C_f)\) admet en \(B(4;1)\) la tangente \(y=\dfrac{1}{2}(x-4)+1\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
b) \(f(3{,}99)=f(4-0{,}01)\approx1+\dfrac{1}{2}\times(-0{,}01)\)
\(=0{,}995\)
1.a) \(f(3)=9-3-6=0\).
\(x>3\ :\ \dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}\to+\infty\)
\(x<3\ :\ \dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}\)
\(=x+2\to5\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(3\) ; \(f\) est dérivable à gauche en \(3\) et \(f'_g(3)=5\)
b) Au point \(A(3;0)\) : demi-tangente verticale à droite (dirigée vers le haut) et demi-tangente de coefficient directeur \(5\) à gauche.
2.a) \(\dfrac{f(x)-f(4)}{x-4}=\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x-3}+1}\to\dfrac{1}{2}\)
[] \(f'(4)=\dfrac{1}{2}\) : \((C_f)\) admet en \(B(4;1)\) la tangente \(y=\dfrac{1}{2}(x-4)+1\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
b) \(f(3{,}99)=f(4-0{,}01)\approx1+\dfrac{1}{2}\times(-0{,}01)\)
\(=0{,}995\)
Exercice 3 (2 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=(x^2+1)^9\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=18x(x^2+1)^8\).
2. Calculer la limite suivante : \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x^2+1)^9-1}{x}\).
1. Montrer que \((\forall x\in\mathbb{R})\ f'(x)=18x(x^2+1)^8\).
2. Calculer la limite suivante : \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x^2+1)^9-1}{x}\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
Dérivabilité : \(f\) est un polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) ; \((u^9)'=9u'u^8\) avec \(u(x)=x^2+1\) :
[] 1. \(f'(x)=9\times2x\times(x^2+1)^8=18x(x^2+1)^8\)
💡 Méthode : on reconnaît le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\) avec \(f(0)=1\).
[] 2. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x^2+1)^9-1}{x}=f'(0)=0\)
[] 1. \(f'(x)=9\times2x\times(x^2+1)^8=18x(x^2+1)^8\)
💡 Méthode : on reconnaît le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) : \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\) avec \(f(0)=1\).
[] 2. \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(x^2+1)^9-1}{x}=f'(0)=0\)
Exercice 4 (7.5 pts)
On considère la fonction numérique \(f\) définie par : \(f(x)=\dfrac{x^2-5x+7}{x-3}\), et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
1. a) Déterminer \(D_f\).
b) Calculer les limites suivantes : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to3^-}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to3^+}f(x)\).
2. a) Montrer que \(f\) est dérivable sur les deux intervalles \(]-\infty;3[\) et \(]3;+\infty[\).
b) Montrer que \((\forall x\in D_f)\ f'(x)=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\).
c) Montrer que \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2]\) et \([4;+\infty[\), et qu’elle est décroissante sur \([2;3[\) et sur \(]3;4]\).
d) Dresser le tableau de variation de \(f\).
3. Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
1. a) Déterminer \(D_f\).
b) Calculer les limites suivantes : \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to3^-}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to3^+}f(x)\).
2. a) Montrer que \(f\) est dérivable sur les deux intervalles \(]-\infty;3[\) et \(]3;+\infty[\).
b) Montrer que \((\forall x\in D_f)\ f'(x)=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\).
c) Montrer que \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2]\) et \([4;+\infty[\), et qu’elle est décroissante sur \([2;3[\) et sur \(]3;4]\).
d) Dresser le tableau de variation de \(f\).
3. Donner l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
✅ Correction de l’exercice 4 — التصحيح
[] 1.a) \(D_f=\mathbb{R}-\{3\}\)
b) En \(\pm\infty\) (propriété du cours) : \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty\).
En \(3\) : calcul direct, le numérateur tend vers \(9-15+7=1\) et \(x-3\to0\) : « \(\dfrac{1}{0}\) ».
[] \(\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=+\infty\)
Dérivabilité : 2.a) \(f\) est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(]-\infty;3[\) ni sur \(]3;+\infty[\) : elle y est dérivable.
b) \(f'(x)=\dfrac{(2x-5)(x-3)-(x^2-5x+7)}{(x-3)^2}\)
\(=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}\)
\(=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
c) \(f'(x)=0\iff x=2\) ou \(x=4\) ; \((x-3)^2>0\) donc \(f'(x)\) a le signe de \((x-2)(x-4)\) :
[] \(f\) croissante sur \(]-\infty;2]\) et \([4;+\infty[\), décroissante sur \([2;3[\) et \(]3;4]\)
d) \(f(2)=\dfrac{4-10+7}{-1}=-1\) et \(f(4)=\dfrac{16-20+7}{1}=3\) :
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
3. \(f(1)=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}\) et \(f'(1)=\dfrac{(-1)(-3)}{4}=\dfrac{3}{4}\).
[] \((T)\ :\ y=\dfrac{3}{4}(x-1)-\dfrac{3}{2}\), soit \(y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\)
b) En \(\pm\infty\) (propriété du cours) : \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x=\pm\infty\).
En \(3\) : calcul direct, le numérateur tend vers \(9-15+7=1\) et \(x-3\to0\) : « \(\dfrac{1}{0}\) ».
[] \(\lim\limits_{x\to3^-}f(x)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x\to3^+}f(x)=+\infty\)
Dérivabilité : 2.a) \(f\) est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur \(]-\infty;3[\) ni sur \(]3;+\infty[\) : elle y est dérivable.
b) \(f'(x)=\dfrac{(2x-5)(x-3)-(x^2-5x+7)}{(x-3)^2}\)
\(=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}\)
\(=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
c) \(f'(x)=0\iff x=2\) ou \(x=4\) ; \((x-3)^2>0\) donc \(f'(x)\) a le signe de \((x-2)(x-4)\) :
[] \(f\) croissante sur \(]-\infty;2]\) et \([4;+\infty[\), décroissante sur \([2;3[\) et \(]3;4]\)
d) \(f(2)=\dfrac{4-10+7}{-1}=-1\) et \(f(4)=\dfrac{16-20+7}{1}=3\) :
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
3. \(f(1)=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}\) et \(f'(1)=\dfrac{(-1)(-3)}{4}=\dfrac{3}{4}\).
[] \((T)\ :\ y=\dfrac{3}{4}(x-1)-\dfrac{3}{2}\), soit \(y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\)