Exercice 1 (4 pts)
1. Soit \(f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\). En utilisant le taux d’accroissement, montrer que \(f\) est dérivable en \(1\) et calculer \(f'(1)\).
2. En utilisant le nombre dérivé d’une fonction bien choisie, calculer \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{3}}\dfrac{2\cos x-1}{x-\dfrac{\pi}{3}}\).
2. En utilisant le nombre dérivé d’une fonction bien choisie, calculer \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{3}}\dfrac{2\cos x-1}{x-\dfrac{\pi}{3}}\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(a)\).
1. \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^3-2x+1}{x(x-1)}\)
\(=\dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x(x-1)}\)
\(=\dfrac{x^2+x-1}{x}\to1\)
[] \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=1\)
2. Soit \(g(x)=2\cos x\) : \(g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1\), donc la limite est le nombre dérivé \(g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\).
[] \(g'(x)=-2\sin x\) : la limite vaut \(-2\sin\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt{3}\)
1. \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x^3-2x+1}{x(x-1)}\)
\(=\dfrac{(x-1)(x^2+x-1)}{x(x-1)}\)
\(=\dfrac{x^2+x-1}{x}\to1\)
[] \(f\) est dérivable en \(1\) et \(f'(1)=1\)
2. Soit \(g(x)=2\cos x\) : \(g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=1\), donc la limite est le nombre dérivé \(g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\).
[] \(g'(x)=-2\sin x\) : la limite vaut \(-2\sin\dfrac{\pi}{3}=-\sqrt{3}\)
Exercice 2 (9 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x}\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(0^+\), \(0^-\), \(+\infty\) et \(-\infty\).
2. Montrer que \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x}\) puis que \(f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}\).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que \((\forall x>0)\ f(x)\geq3\).
5. Déterminer les points de \((C_f)\) où la tangente est parallèle à la droite \(y=-3x\).
6. Donner une valeur approchée de \(f(1{,}02)\).
1. Calculer les limites de \(f\) en \(0^+\), \(0^-\), \(+\infty\) et \(-\infty\).
2. Montrer que \(f(x)=x+1+\dfrac{1}{x}\) puis que \(f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}\).
3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
4. Montrer que \((\forall x>0)\ f(x)\geq3\).
5. Déterminer les points de \((C_f)\) où la tangente est parallèle à la droite \(y=-3x\).
6. Donner une valeur approchée de \(f(1{,}02)\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. En \(0\) : calcul direct « \(\dfrac{1}{0}\) » ; en \(\pm\infty\) : propriété du cours \(\dfrac{x^2}{x}=x\).
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) (somme de fonctions dérivables) :
2. \(f(x)=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=x+1+\dfrac{1}{x}\)
\(f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
3. \(f'(x)=0\iff x=-1\) ou \(x=1\) ; \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=3\) :
[] 4. Sur \(]0;+\infty[\), la valeur minimale de \(f\) est \(f(1)=3\)
5. 💡 tangente parallèle à \(y=-3x\) \(\iff f'(a)=-3\).
\(1-\dfrac{1}{a^2}=-3\)
\(\iff a^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\iff a=\dfrac{1}{2}\ \ ;\ \ a=-\dfrac{1}{2}\)
[] Les points \(\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\) et \(\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
[] 6. \(f'(1)=0\) : \(f(1{,}02)\approx f(1)=3\)
[] \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-\infty\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^*\) (somme de fonctions dérivables) :
2. \(f(x)=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x}=x+1+\dfrac{1}{x}\)
\(f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}\)
💡 Méthode : on calcule \(f'(x)\), on résout \(f'(x)=0\), on dresse le tableau de signe de \(f'\), puis le tableau de variations.
3. \(f'(x)=0\iff x=-1\) ou \(x=1\) ; \(f(-1)=-1\) et \(f(1)=3\) :
[] 4. Sur \(]0;+\infty[\), la valeur minimale de \(f\) est \(f(1)=3\)
5. 💡 tangente parallèle à \(y=-3x\) \(\iff f'(a)=-3\).
\(1-\dfrac{1}{a^2}=-3\)
\(\iff a^2=\dfrac{1}{4}\)
\(\iff a=\dfrac{1}{2}\ \ ;\ \ a=-\dfrac{1}{2}\)
[] Les points \(\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\) et \(\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)
[] 6. \(f'(1)=0\) : \(f(1{,}02)\approx f(1)=3\)
Exercice 3 (7 pts)
L’espace est rapporté à un repère \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\). On considère les points \(A(2;0;1)\), \(B(1;1;0)\), \(C(3;2;1)\) et le vecteur \(\vec{u}(1;-1;-1)\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
2. Soit \(D\) le point tel que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\). Calculer les coordonnées de \(D\) et justifier que \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires.
3. Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont-ils coplanaires ?
4. Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(ABEC\) soit un parallélogramme.
5. Vérifier que le milieu de \([AE]\) est le milieu de \([BC]\).
1. Montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
2. Soit \(D\) le point tel que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\). Calculer les coordonnées de \(D\) et justifier que \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires.
3. Les vecteurs \(\vec{u}\), \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont-ils coplanaires ?
4. Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(ABEC\) soit un parallélogramme.
5. Vérifier que le milieu de \([AE]\) est le milieu de \([BC]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
[] 1. \(\overrightarrow{AB}(-1;1;-1)\) et \(\overrightarrow{AC}(1;2;0)\) : \(\dfrac{1}{-1}\neq\dfrac{2}{1}\), non colinéaires
2. \(\overrightarrow{AD}(-1+2;1+4;-1+0)=(1;5;-1)\) donc \(D(3;5;0)\).
[] \(\overrightarrow{AD}\) est combinaison de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
3. \(\vec{u}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\) : \(-a+b=1\), \(a+2b=-1\), \(-a=-1\) ; donc \(a=1\), \(b=2\), mais alors \(a+2b=5\neq-1\).
[!] \(\vec{u}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas coplanaires
4. \(ABEC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(0;3;-1)\).
[] \(E(2;3;0)\)
[] 5. Milieu de \([AE]\) : \(\left(2;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) ; milieu de \([BC]\) : \(\left(2;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) ✔
2. \(\overrightarrow{AD}(-1+2;1+4;-1+0)=(1;5;-1)\) donc \(D(3;5;0)\).
[] \(\overrightarrow{AD}\) est combinaison de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) : \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires
💡 Méthode : \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) sont coplanaires si l’un est combinaison des deux autres ; \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires si \(\vec{v}=k\vec{u}\).
3. \(\vec{u}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\) : \(-a+b=1\), \(a+2b=-1\), \(-a=-1\) ; donc \(a=1\), \(b=2\), mais alors \(a+2b=5\neq-1\).
[!] \(\vec{u}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas coplanaires
4. \(ABEC\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(0;3;-1)\).
[] \(E(2;3;0)\)
[] 5. Milieu de \([AE]\) : \(\left(2;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) ; milieu de \([BC]\) : \(\left(2;\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) ✔