Exercice 1 (6 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x|x-2|\).
1. Écrire \(f(x)\) sans valeur absolue sur \([2;+\infty[\) et sur \(]-\infty;2[\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(2\).
4. \(f\) est-elle dérivable en \(2\) ? Donner les équations des demi-tangentes au point \(A(2;0)\).
5. Calculer \(f'(x)\) sur \(]2;+\infty[\) et sur \(]-\infty;2[\).
1. Écrire \(f(x)\) sans valeur absolue sur \([2;+\infty[\) et sur \(]-\infty;2[\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(2\).
3. Étudier la dérivabilité de \(f\) à gauche en \(2\).
4. \(f\) est-elle dérivable en \(2\) ? Donner les équations des demi-tangentes au point \(A(2;0)\).
5. Calculer \(f'(x)\) sur \(]2;+\infty[\) et sur \(]-\infty;2[\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
[] 1. Sur \([2;+\infty[\) : \(f(x)=x(x-2)=x^2-2x\) ; sur \(]-\infty;2[\) : \(f(x)=-x(x-2)=-x^2+2x\)
💡 Méthode : on calcule la limite du taux d’accroissement à droite et à gauche ; \(f\) est dérivable en \(a\iff f'_d(a)=f'_g(a)\), sinon on obtient deux demi-tangentes.
2. \(x>2\ :\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x(x-2)}{x-2}\)
\(=x\to2\)
3. \(x<2\ :\ \dfrac{-x(x-2)}{x-2}\)
\(=-x\to-2\)
[!] 4. \(f'_d(2)=2\neq f'_g(2)=-2\) : \(f\) n’est pas dérivable en \(2\) (\(A\) est un point anguleux)
[] Demi-tangentes : \(y=2(x-2)\) (\(x\geq2\)) et \(y=-2(x-2)\) (\(x\leq2\))
[] 5. Sur \(]2;+\infty[\) : \(f'(x)=2x-2\) ; sur \(]-\infty;2[\) : \(f'(x)=-2x+2\)
💡 Méthode : on calcule la limite du taux d’accroissement à droite et à gauche ; \(f\) est dérivable en \(a\iff f'_d(a)=f'_g(a)\), sinon on obtient deux demi-tangentes.
2. \(x>2\ :\ \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=\dfrac{x(x-2)}{x-2}\)
\(=x\to2\)
3. \(x<2\ :\ \dfrac{-x(x-2)}{x-2}\)
\(=-x\to-2\)
[!] 4. \(f'_d(2)=2\neq f'_g(2)=-2\) : \(f\) n’est pas dérivable en \(2\) (\(A\) est un point anguleux)
[] Demi-tangentes : \(y=2(x-2)\) (\(x\geq2\)) et \(y=-2(x-2)\) (\(x\leq2\))
[] 5. Sur \(]2;+\infty[\) : \(f'(x)=2x-2\) ; sur \(]-\infty;2[\) : \(f'(x)=-2x+2\)
Exercice 2 (8 pts)
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=x-2\sqrt{x}\).
1. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter géométriquement.
2. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\).
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. En déduire que \((\forall x\geq0)\ x+1\geq2\sqrt{x}\).
5. Résoudre l’équation \(f(x)=0\).
6. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(4\).
1. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\) et interpréter géométriquement.
2. Montrer que \((\forall x>0)\ f'(x)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\).
3. Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
4. En déduire que \((\forall x\geq0)\ x+1\geq2\sqrt{x}\).
5. Résoudre l’équation \(f(x)=0\).
6. Déterminer l’équation de la tangente à \((C_f)\) au point d’abscisse \(4\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
💡 Méthode : \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) existe et est finie ; cette limite est \(f'(a)\).
1. \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=1-\dfrac{2\sqrt{x}}{x}\)
\(=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to-\infty\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) (somme de fonctions dérivables). Pour tout \(x>0\) :
2. \(f'(x)=1-\dfrac{2}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
3. « \(+\infty-\infty\) » : \(f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)\to+\infty\). \(f'(x)=0\iff\sqrt{x}=1\iff x=1\) ; \(f(1)=-1\).
[] 4. La valeur minimale de \(f\) est \(-1\) : \(x-2\sqrt{x}\geq-1\), soit \(x+1\geq2\sqrt{x}\)
[] 5. \(\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)=0\iff x=0\) ou \(x=4\) : \(S=\{0;4\}\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 6. \(f(4)=0\) et \(f'(4)=\dfrac{1}{2}\) : \(y=\dfrac{1}{2}(x-4)\)
1. \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=1-\dfrac{2\sqrt{x}}{x}\)
\(=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\to-\infty\)
[!] \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale en \(O\)
Dérivabilité : \(f\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) (somme de fonctions dérivables). Pour tout \(x>0\) :
2. \(f'(x)=1-\dfrac{2}{2\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
3. « \(+\infty-\infty\) » : \(f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)\to+\infty\). \(f'(x)=0\iff\sqrt{x}=1\iff x=1\) ; \(f(1)=-1\).
[] 4. La valeur minimale de \(f\) est \(-1\) : \(x-2\sqrt{x}\geq-1\), soit \(x+1\geq2\sqrt{x}\)
[] 5. \(\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)=0\iff x=0\) ou \(x=4\) : \(S=\{0;4\}\)
💡 Méthode : tangente au point d’abscisse \(a\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) ; approximation : \(f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h\).
[] 6. \(f(4)=0\) et \(f'(4)=\dfrac{1}{2}\) : \(y=\dfrac{1}{2}(x-4)\)
Exercice 3 (6 pts)
L’espace est rapporté à un repère \((O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})\). On considère les points \(A(1;2;-1)\), \(B(3;1;0)\), \(C(0;4;-3)\) et \(D(2;0;2)\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
2. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont-ils coplanaires ?
3. Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(ABCE\) soit un parallélogramme.
4. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([BD]\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?
2. Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont-ils coplanaires ?
3. Déterminer les coordonnées du point \(E\) tel que \(ABCE\) soit un parallélogramme.
4. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) de \([BD]\).
✅ Correction de l’exercice 3 — التصحيح
💡 Méthode : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)\) ; colinéaires \(\iff\) coordonnées proportionnelles ; coplanaires \(\iff\) \(\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\).
1. \(\overrightarrow{AB}(2;-1;1)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;2;-2)\) : \(\dfrac{-1}{2}\neq\dfrac{2}{-1}\).
[] Non colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés
2. \(\overrightarrow{AD}(1;-2;3)\) ; on cherche \(a\), \(b\) tels que \(2a-b=1\), \(-a+2b=-2\), \(a-2b=3\).
En additionnant les deux dernières équations : \(0=1\), impossible.
[!] \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ne sont pas coplanaires
3. \(ABCE\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{BC}(-3;3;-3)\).
[] \(E(-2;5;-4)\)
[] 4. \(I\left(\dfrac{3+2}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{0+2}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2};1\right)\)
1. \(\overrightarrow{AB}(2;-1;1)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1;2;-2)\) : \(\dfrac{-1}{2}\neq\dfrac{2}{-1}\).
[] Non colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés
2. \(\overrightarrow{AD}(1;-2;3)\) ; on cherche \(a\), \(b\) tels que \(2a-b=1\), \(-a+2b=-2\), \(a-2b=3\).
En additionnant les deux dernières équations : \(0=1\), impossible.
[!] \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ne sont pas coplanaires
3. \(ABCE\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{BC}(-3;3;-3)\).
[] \(E(-2;5;-4)\)
[] 4. \(I\left(\dfrac{3+2}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{0+2}{2}\right)=\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{1}{2};1\right)\)