Exercice 1 (13 pts)
1. Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^3-3x^2+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{1-2x^2}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan(2x)}{x}\) ; e) \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}\) ; f) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\).
2. Soit \(m\) un réel et \(f(x)=\dfrac{x^2+mx-6}{x-2}\) pour \(x\neq2\).
a) Déterminer \(m\) pour que \(f\) admette une limite finie en \(2\).
b) Pour cette valeur de \(m\), calculer \(\lim\limits_{x\to2}f(x)\).
a) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^3-3x^2+1\right)\) ; b) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{1-2x^2}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to3}\dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan(2x)}{x}\) ; e) \(\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}\) ; f) \(\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)\).
2. Soit \(m\) un réel et \(f(x)=\dfrac{x^2+mx-6}{x-2}\) pour \(x\neq2\).
a) Déterminer \(m\) pour que \(f\) admette une limite finie en \(2\).
b) Pour cette valeur de \(m\), calculer \(\lim\limits_{x\to2}f(x)\).
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) \(x^3\to-\infty\) :
[] \(-\infty\) ; b) \(\dfrac{3x^2}{-2x^2}\) :
[] \(-\dfrac{3}{2}\)
c) \(\dfrac{x+1-4}{(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\to\dfrac{1}{4}\) ; d) \(2\times\dfrac{\tan(2x)}{2x}\to2\) :
[] \(\dfrac{1}{4}\) ; \(2\)
e) \(X=x-\dfrac{\pi}{2}\to0\) : \(\cos\left(X+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin X\) et \(\dfrac{-\sin X}{X}\to-1\) :
[] \(-1\)
f) \(\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\) et le dénominateur tend vers \(+\infty\) :
[] \(0\)
2. a) Le dénominateur tend vers \(0\) : il faut que le numérateur s’annule en \(2\) : \(4+2m-6=0\) :
[] \(m=1\)
b) \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3\) :
[] \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=5\)
[] \(-\infty\) ; b) \(\dfrac{3x^2}{-2x^2}\) :
[] \(-\dfrac{3}{2}\)
c) \(\dfrac{x+1-4}{(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\to\dfrac{1}{4}\) ; d) \(2\times\dfrac{\tan(2x)}{2x}\to2\) :
[] \(\dfrac{1}{4}\) ; \(2\)
e) \(X=x-\dfrac{\pi}{2}\to0\) : \(\cos\left(X+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin X\) et \(\dfrac{-\sin X}{X}\to-1\) :
[] \(-1\)
f) \(\sqrt{x^2+1}+x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}\) et le dénominateur tend vers \(+\infty\) :
[] \(0\)
2. a) Le dénominateur tend vers \(0\) : il faut que le numérateur s’annule en \(2\) : \(4+2m-6=0\) :
[] \(m=1\)
b) \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3\) :
[] \(\lim\limits_{x\to2}f(x)=5\)
Exercice 2 (7 pts)
\(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(A\) tel que \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\). Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(D=R(C)\).
1. Montrer que \(R(B)=C\).
2. Montrer que \(A\) est le milieu de \([BD]\).
3. Montrer que le triangle \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\).
4. Soit \(E\) le point tel que \(ACED\) soit un carré. Déterminer l’image de \(C\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que \(R(B)=C\).
2. Montrer que \(A\) est le milieu de \([BD]\).
3. Montrer que le triangle \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\).
4. Soit \(E\) le point tel que \(ACED\) soit un carré. Déterminer l’image de \(C\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(AB=AC\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(R(B)=C\)
2. \(AD=AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\pi\) : \(B\), \(A\), \(D\) alignés et \(AB=AD\) :
[] \(A\) est le milieu de \([BD]\)
3. \(R(B)=C\) et \(R(C)=D\) : \(R\) transforme \([BC]\) en \([CD]\), donc \(BC=CD\) et \((BC)\perp(CD)\) :
[] \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\)
4. La rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) est la réciproque de \(R\) ; comme \(R(B)=C\) :
[] l’image de \(C\) est \(B\)
[] \(R(B)=C\)
2. \(AD=AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\pi\) : \(B\), \(A\), \(D\) alignés et \(AB=AD\) :
[] \(A\) est le milieu de \([BD]\)
3. \(R(B)=C\) et \(R(C)=D\) : \(R\) transforme \([BC]\) en \([CD]\), donc \(BC=CD\) et \((BC)\perp(CD)\) :
[] \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\)
4. La rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) est la réciproque de \(R\) ; comme \(R(B)=C\) :
[] l’image de \(C\) est \(B\)