الفرض 1 — الدورة الثانية — الأولى باك علوم تجريبية (Devoir n°1 — semestre 2 — النموذج 2)

Comment lever une forme indéterminée ?
- « \(\dfrac{0}{0}\) » avec des polynômes : factoriser par \((x-a)\) et simplifier ;
- racine carrée dont les termes dominants s’éliminent : multiplier par l’expression conjuguée ;
- racine carrée devant un terme qui domine : factoriser par le terme dominant ;
- expression trigonométrique : faire apparaître les limites usuelles \(\dfrac{\sin X}{X}\), \(\dfrac{\tan X}{X}\), \(\dfrac{1-\cos X}{X^2}\).
1. Calcul direct : \(12-10-2=0\) et \(4+6-10=0\) : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on factorise par \((x-2)\) :
\(\dfrac{(x-2)(3x+1)}{(x-2)(x+5)}=\dfrac{3x+1}{x+5}\to\dfrac{7}{7}=1\)
2. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) et \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\) :
\(\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)(x^2-x+1)}=\dfrac{x+1}{x^2-x+1}\to\dfrac{0}{3}=0\)
3. Calcul direct : « \(+\infty-\infty\) » ; \(\sqrt{x+4}\) est négligeable devant \(2x\) : on factorise par \(x\).
\(2x-\sqrt{x+4}=x\left(2-\sqrt{\dfrac{x+4}{x^2}}\right)\)
\(\to+\infty\times(2-0)=+\infty\)
4. Calcul direct : « \(\dfrac{+\infty}{+\infty}\) » ; on factorise par \(\sqrt{x}\) :
\(\dfrac{x}{\sqrt{x+2}+3}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{x}}+\dfrac{3}{\sqrt{x}}}\)
\(\to\dfrac{+\infty}{1}=+\infty\)
5. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; on divise par \(x\) pour faire apparaître \(\dfrac{\sin X}{X}\) :
\(\dfrac{2\dfrac{\sin x}{x}+3}{2-6\dfrac{\sin3x}{3x}}\to\dfrac{2+3}{2-6}=-\dfrac{5}{4}\)
6. Calcul direct : « \(\dfrac{0}{0}\) » ; conjugué puis limites usuelles (\(X=2x\) et \(X=3x\)) :
\(\dfrac{1-\sqrt{\cos2x}}{x\sin3x}=\dfrac{1-\cos2x}{x\sin3x\left(1+\sqrt{\cos2x}\right)}\)
\(=\dfrac{4\times\dfrac{1-\cos2x}{(2x)^2}}{3\times\dfrac{\sin3x}{3x}\times\left(1+\sqrt{\cos2x}\right)}\)
\(\to\dfrac{4\times\dfrac{1}{2}}{3\times1\times2}=\dfrac{1}{3}\)
[] Les limites : \(1\) ; \(0\) ; \(+\infty\) ; \(+\infty\) ; \(-\dfrac{5}{4}\) ; \(\dfrac{1}{3}\)

1. \(x^2-x=x(x-1)\neq0\iff x\neq0\) et \(x\neq1\).
[] \(D=\mathbb{R}-\{0;1\}\)
💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x^2}\)
\(=\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\)
2. Calcul direct : le numérateur tend vers \(2\) et \(x(x-1)\to0\) : forme « \(\dfrac{2}{0}\) » ; signe du dénominateur :
près de \(1\) : \(x>0\) ; si \(x>1\), \(x(x-1)>0\) ; si \(x<1\), \(x(x-1)<0\).
[] \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=-\infty\)
3. \(\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{x^3+1}{x^3-x^2}\to\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^3}{x^3}=1\)
\(f(x)-x=\dfrac{x^3+1-x^3+x^2}{x^2-x}\)
\(=\dfrac{x^2+1}{x^2-x}\to1\)
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=1\)

💡 Méthode : propriété du cours : en \(\pm\infty\), un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, et une fonction rationnelle celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
1. En \(+\infty\) : \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^2+ax\) (polynôme) : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{3}x^2=+\infty\).
En \(-\infty\) : « \(\dfrac{-\infty}{+\infty}\) » ; on factorise par \(\sqrt{-x}\) (pour \(x<0\), \(x=-(\sqrt{-x})^2\) et \(1-x=-x\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\)) :
\(f(x)=\dfrac{-\sqrt{-x}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)}{\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}\)
\(\to-\infty\times\dfrac{1}{1}\)
[] \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\)
2. Calcul direct : \(\lim\limits_{x\to-3^-}\dfrac{x+3}{\sqrt{1-x}}=\dfrac{0}{\sqrt{4}}=0\) et \(\lim\limits_{x\to-3^+}\left(\dfrac{1}{3}x^2+ax\right)=3-3a\).
\(3-3a=0\)
\(\iff a=1\)
[] \(f\) admet une limite en \(-3\) si et seulement si \(a=1\) (la limite vaut \(0\))

💡 Méthode : \(M’=R(M)\iff\Omega M’=\Omega M\) et \(\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\) ; une rotation conserve les distances et les angles orientés : si \(A’=R(A)\) et \(B’=R(B)\) alors \(A’B’=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A’B’}\right)\equiv\theta\ [2\pi]\).
1. \(OA=OB=OC\) et \(\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)\equiv\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) (carré direct).
[] \(R(A)=B\), \(R(B)=C\) et \(R((AB))=(BC)\)
[] 2. La rotation conserve le milieu : \(R(I)\) est le milieu de \([R(A)R(B)]=[BC]\), donc \(R(I)=J\)
3. \(R(I)=J\) : \(OJ=OI\) et \(\left(\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\).

[] \(OI=OJ\) et \((OI)\perp(OJ)\)