Exercice 1 (13 pts)
1. Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+4}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{2x}\) ; e) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) ; f) \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{x-1}\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{x-1}\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\).
3. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\). Calculer les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\) et interpréter graphiquement.
a) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^3-x+1}{x^3+4}\) ; b) \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}\) ; c) \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) ; d) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(3x)}{2x}\) ; e) \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) ; f) \(\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{x+1}{x-1}\) et \(\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{x+1}{x-1}\).
2. Calculer \(\lim\limits_{x\to1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\).
3. Soit \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\). Calculer les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\) et interpréter graphiquement.
✅ Correction de l’exercice 1 — التصحيح
1. a) Limite du rapport des termes de plus haut degré : \(\dfrac{2x^3}{x^3}\) :
[] \(2\)
b) \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+2}{x-1}\to\dfrac{4}{1}\) :
[] \(4\)
c) \(\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
d) \(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to\dfrac{3}{2}\) ; e) limite usuelle : \(\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{1}{2}\)
f) \(x+1\to2\) ; \(x-1\to0^+\) à droite et \(0^-\) à gauche :
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{x+3-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
3. \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=2\) : asymptote horizontale \(y=2\) ; \(\lim\limits_{x\to3^+}g(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to3^-}g(x)=-\infty\) :
[] asymptote verticale \(x=3\)
[] \(2\)
b) \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{x+2}{x-1}\to\dfrac{4}{1}\) :
[] \(4\)
c) \(\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\to\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{1}{2}\)
d) \(\dfrac{3}{2}\times\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to\dfrac{3}{2}\) ; e) limite usuelle : \(\dfrac{1}{2}\) :
[] \(\dfrac{3}{2}\) ; \(\dfrac{1}{2}\)
f) \(x+1\to2\) ; \(x-1\to0^+\) à droite et \(0^-\) à gauche :
[] \(+\infty\) et \(-\infty\)
2. \(\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{x+3-4}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}\to\dfrac{1}{4}\)
3. \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{3\}\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}g(x)=2\) : asymptote horizontale \(y=2\) ; \(\lim\limits_{x\to3^+}g(x)=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to3^-}g(x)=-\infty\) :
[] asymptote verticale \(x=3\)
Exercice 2 (7 pts)
\(ABC\) est un triangle rectangle isocèle en \(A\) tel que \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\). Soit \(R\) la rotation de centre \(A\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(D=R(C)\).
1. Montrer que \(R(B)=C\).
2. Montrer que \(A\) est le milieu de \([BD]\).
3. Montrer que le triangle \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\).
4. Soit \(E\) le point tel que \(ACED\) soit un carré. Déterminer l’image de \(C\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
1. Montrer que \(R(B)=C\).
2. Montrer que \(A\) est le milieu de \([BD]\).
3. Montrer que le triangle \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\).
4. Soit \(E\) le point tel que \(ACED\) soit un carré. Déterminer l’image de \(C\) par la rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
✅ Correction de l’exercice 2 — التصحيح
1. \(AB=AC\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\) :
[] \(R(B)=C\)
2. \(AD=AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\pi\) : \(B\), \(A\), \(D\) alignés et \(AB=AD\) :
[] \(A\) est le milieu de \([BD]\)
3. \(R(B)=C\) et \(R(C)=D\) : \(R\) transforme \([BC]\) en \([CD]\), donc \(BC=CD\) et \((BC)\perp(CD)\) :
[] \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\)
4. La rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) est la réciproque de \(R\) ; comme \(R(B)=C\) :
[] l’image de \(C\) est \(B\)
[] \(R(B)=C\)
2. \(AD=AC=AB\) et \(\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)+\left(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}\right)\equiv\pi\) : \(B\), \(A\), \(D\) alignés et \(AB=AD\) :
[] \(A\) est le milieu de \([BD]\)
3. \(R(B)=C\) et \(R(C)=D\) : \(R\) transforme \([BC]\) en \([CD]\), donc \(BC=CD\) et \((BC)\perp(CD)\) :
[] \(BCD\) est rectangle isocèle en \(C\)
4. La rotation de centre \(A\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\) est la réciproque de \(R\) ; comme \(R(B)=C\) :
[] l’image de \(C\) est \(B\)